Método

Ejercicios: Matriz en otras bases

columna i=T(bi)i = T(b_{i}) en la base de llegada

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Explicá por qué la misma transformación lineal tiene matrices distintas según la base elegida.

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1. Recordamos cómo se arma la matriz. Sus columnas son las coordenadas de las imágenes de la base, escritas en la base del codominio.

2. Vemos de qué depende. Si cambia la base, cambian tanto qué vectores hay que transformar como en qué coordenadas se escriben los resultados.

3. Concluimos. La transformación es siempre la misma, pero su representación numérica cambia.

4. Damos el motivo práctico. Se elige la base que haga la matriz más simple. El caso ideal es una base donde la matriz quede diagonal.

5. Anticipamos. Encontrar esa base es exactamente el problema de la diagonalización.

Respuesta: porque la matriz depende de la base elegida, aunque la transformación sea la misma

2. La matriz de TT en la base canónica es A=[−44−3−2]A = \begin{bmatrix}-4 & 4 \\ -3 & -2\end{bmatrix}. Hallá su matriz en la base B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}.

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1. Escribimos la fórmula del cambio. Si PP es la matriz de cambio de base, la nueva matriz es P−1APP^{-1}AP.

2. Armamos PP. Sus columnas son los vectores de la nueva base: P=[111−1]P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}

3. Calculamos la inversa. P−1=[121212−12]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{bmatrix}

4. Hacemos el producto. P−1AP=[−52−9252−72]P^{-1}AP = \begin{bmatrix}- \frac{5}{2} & - \frac{9}{2} \\ \frac{5}{2} & - \frac{7}{2}\end{bmatrix}

5. Observamos. Las dos matrices representan la misma transformación. Son matrices semejantes.

Respuesta: la matriz en la base BB es [−52−9252−72]\begin{bmatrix}- \frac{5}{2} & - \frac{9}{2} \\ \frac{5}{2} & - \frac{7}{2}\end{bmatrix}

3. La matriz de TT en la canónica es A=[5302]A = \begin{bmatrix}5 & 3 \\ 0 & 2\end{bmatrix}. Sabiendo que sus autovalores son 22 y 55, indicá cómo se ve la matriz en una base de autovectores.

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1. Recordamos qué hace un autovector. La transformación deja a cada autovector en su misma dirección, apenas estirado por el autovalor.

2. Vemos qué implica para la matriz. Si la base está formada por autovectores, cada columna tiene el autovalor en su posición y ceros en el resto.

3. Escribimos la matriz. D=[2005]D = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix}

4. Interpretamos. En esa base la transformación se ve como un simple estiramiento a lo largo de cada eje, sin mezclar direcciones.

5. Observamos. Es la representación más simple posible, y por eso se busca esa base.

Respuesta: la matriz queda diagonal: [2005]\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix}

4. Explicá qué relación hay entre las matrices de una misma transformación en dos bases distintas.

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1. Escribimos la relación. Si AA es la matriz en una base y BB en otra, existe una matriz inversible PP con B=P−1APB = P^{-1}AP.

2. Identificamos PP. PP es la matriz de cambio de base entre las dos.

3. Le damos nombre a la relación. Dos matrices relacionadas así se llaman semejantes.

4. Vemos qué comparten. Las matrices semejantes tienen el mismo determinante, la misma traza y los mismos autovalores, porque describen la misma transformación.

5. Observamos. Eso permite verificar resultados: si al cambiar de base cambia el determinante, hubo un error.

Respuesta: son semejantes: B=P−1APB = P^{-1}AP, con PP la matriz de cambio de base

5. Explicá qué propiedades de una transformación lineal se pueden leer de su matriz sin importar en qué base esté escrita.

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1. Planteamos el problema. La matriz cambia con la base, así que hay que distinguir qué depende de la elección y qué no.

2. Listamos lo que no cambia. El determinante, la traza, el rango y los autovalores son los mismos en cualquier base.

3. Explicamos por qué. Dos matrices de la misma transformación cumplen B=P−1APB = P^{-1}AP, y esas cantidades no se alteran bajo esa operación.

4. Damos la lectura de cada una. El rango da la dimensión de la imagen, y por el teorema de la dimensión también la del núcleo. El determinante distinto de cero equivale a ser isomorfismo.

5. Listamos lo que sí cambia. Las entradas concretas de la matriz, y en particular si es diagonal o no.

6. Sacamos el criterio. Si al cambiar de base cambia el determinante o la traza, hubo un error de cuentas. Es una verificación gratis.

Respuesta: el determinante, la traza, el rango y los autovalores no dependen de la base; las entradas concretas sí

6. La matriz de TT en la base canónica es A=[−431−1]A = \begin{bmatrix}-4 & 3 \\ 1 & -1\end{bmatrix}. Hallá su matriz en la base B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}.

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1. Escribimos la fórmula del cambio. Si PP es la matriz de cambio de base, la nueva matriz es P−1APP^{-1}AP.

2. Armamos PP. Sus columnas son los vectores de la nueva base: P=[111−1]P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}

3. Calculamos la inversa. P−1=[121212−12]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{bmatrix}

4. Hacemos el producto. P−1AP=[−12−52−12−92]P^{-1}AP = \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{2}\end{bmatrix}

5. Observamos. Las dos matrices representan la misma transformación. Son matrices semejantes.

Respuesta: la matriz en la base BB es [−12−52−12−92]\begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{2}\end{bmatrix}

7. La matriz de TT en la canónica es A=[6−132]A = \begin{bmatrix}6 & -1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}. Sabiendo que sus autovalores son 55 y 33, indicá cómo se ve la matriz en una base de autovectores.

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1. Recordamos qué hace un autovector. La transformación deja a cada autovector en su misma dirección, apenas estirado por el autovalor.

2. Vemos qué implica para la matriz. Si la base está formada por autovectores, cada columna tiene el autovalor en su posición y ceros en el resto.

3. Escribimos la matriz. D=[5003]D = \begin{bmatrix}5 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

4. Interpretamos. En esa base la transformación se ve como un simple estiramiento a lo largo de cada eje, sin mezclar direcciones.

5. Observamos. Es la representación más simple posible, y por eso se busca esa base.

Respuesta: la matriz queda diagonal: [5003]\begin{bmatrix}5 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

8. Explicá de dónde sale la fórmula B=P−1APB = P^{-1}AP, siguiendo qué le pasa a un vector en cada paso.

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1. Planteamos qué hace BB. BB toma coordenadas en la base nueva y devuelve coordenadas en la base nueva.

2. Primer paso. Se pasa de coordenadas nuevas a coordenadas viejas, multiplicando por PP, la matriz de cambio.

3. Segundo paso. Ya en coordenadas viejas, se aplica la transformación con AA, que es la matriz que funciona en esa base.

4. Tercer paso. El resultado está en coordenadas viejas, así que hay que volver a las nuevas multiplicando por P−1P^{-1}.

5. Juntamos los tres pasos. Leyendo de derecha a izquierda como se componen las matrices, queda B=P−1APB = P^{-1}AP.

6. Damos la regla mnemotécnica. La fórmula es ir, hacer, volver. Si el orden se invierte y se escribe PAP−1PAP^{-1}, se está haciendo el cambio en el sentido contrario.

Respuesta: sale de ir a la base vieja con PP, aplicar AA y volver con P−1P^{-1}: por eso B=P−1APB = P^{-1}AP

9. Explicá por qué la matriz asociada a la identidad es la matriz identidad solo si se usa la misma base en el dominio y en el codominio.

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1. Recordamos cómo se arma la matriz. Las columnas son las imágenes de la base del dominio, escritas en coordenadas de la base del codominio.

2. Miramos el caso de la misma base. La identidad manda cada bib_i a sí mismo, y en la base BB ese vector tiene coordenadas con un 11 en el lugar ii y ceros en el resto. Esas son las columnas de la identidad.

3. Cambiamos la base del codominio. Si en el codominio se usa otra base CC, hay que escribir cada bib_i en coordenadas de CC, que en general no son un 11 y ceros.

4. Vemos qué matriz sale. Las columnas son las coordenadas de los vectores de BB en la base CC: es exactamente la matriz de cambio de base de BB a CC.

5. Concluimos. La identidad tiene matriz identidad solo cuando las dos bases coinciden. Con bases distintas, su matriz es la de cambio de base.

6. Sacamos la lectura. El cambio de base no es una transformación aparte: es la identidad mirada con dos bases distintas.

Respuesta: porque con bases distintas la matriz de la identidad es la matriz de cambio de base, no la identidad

10. La matriz de TT en la base canónica es A=[−3−21−5]A = \begin{bmatrix}-3 & -2 \\ 1 & -5\end{bmatrix}. Hallá su matriz en la base B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}.

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1. Escribimos la fórmula del cambio. Si PP es la matriz de cambio de base, la nueva matriz es P−1APP^{-1}AP.

2. Armamos PP. Sus columnas son los vectores de la nueva base: P=[111−1]P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}

3. Calculamos la inversa. P−1=[121212−12]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{bmatrix}

4. Hacemos el producto. P−1AP=[−9252−12−72]P^{-1}AP = \begin{bmatrix}- \frac{9}{2} & \frac{5}{2} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{7}{2}\end{bmatrix}

5. Observamos. Las dos matrices representan la misma transformación. Son matrices semejantes.

Respuesta: la matriz en la base BB es [−9252−12−72]\begin{bmatrix}- \frac{9}{2} & \frac{5}{2} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{7}{2}\end{bmatrix}

11. La matriz de TT en la canónica es A=[−94−2411]A = \begin{bmatrix}-9 & 4 \\ -24 & 11\end{bmatrix}. Sabiendo que sus autovalores son −1-1 y 33, indicá cómo se ve la matriz en una base de autovectores.

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1. Recordamos qué hace un autovector. La transformación deja a cada autovector en su misma dirección, apenas estirado por el autovalor.

2. Vemos qué implica para la matriz. Si la base está formada por autovectores, cada columna tiene el autovalor en su posición y ceros en el resto.

3. Escribimos la matriz. D=[−1003]D = \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

4. Interpretamos. En esa base la transformación se ve como un simple estiramiento a lo largo de cada eje, sin mezclar direcciones.

5. Observamos. Es la representación más simple posible, y por eso se busca esa base.

Respuesta: la matriz queda diagonal: [−1003]\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

12. Decidí si dos matrices con el mismo determinante son necesariamente semejantes.

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1. Recordamos qué implica la semejanza. Si B=P−1APB = P^{-1}AP, entonces AA y BB tienen el mismo determinante, la misma traza y los mismos autovalores.

2. Vemos que la implicación es en un solo sentido. Que compartan el determinante es una consecuencia de ser semejantes, no una garantía.

3. Buscamos un contraejemplo. Tomamos la identidad de 2×22 \times 2 y la matriz [1101]\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}: las dos tienen determinante 11 y traza 22.

4. Vemos por qué no son semejantes. Para la identidad vale P−1IP=IP^{-1}IP = I con cualquier PP, así que la identidad solo es semejante a sí misma. Y la otra matriz no es la identidad.

5. Concluimos. No: el determinante igual es necesario para la semejanza, pero no alcanza.

6. Sacamos el criterio práctico. El determinante y la traza sirven para descartar semejanza cuando difieren, no para confirmarla cuando coinciden.

Respuesta: no necesariamente: la identidad y [1101]\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} comparten determinante y traza y no son semejantes

Integradores de Transformaciones lineales y diagonalización: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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