Matriz en otras bases

La misma transformación tiene matrices distintas según las bases que se usen, y a veces conviene cambiar de base para que la matriz quede más simple.

El procedimiento para pasar de una matriz a otra combina tres: la matriz de cambio de base en el dominio, la matriz original, y la de cambio en el codominio.

Lo importante es el orden en que se multiplican, porque el producto de matrices no es conmutativo. Se aplica primero el cambio en el dominio, después la transformación, y al final el cambio en el codominio.

Cuando el dominio y el codominio son el mismo espacio y se usa la misma base en los dos lados, la fórmula se simplifica: queda la matriz de cambio, la original y la inversa del cambio.

El objetivo de todo esto es encontrar la base donde la matriz quede lo más simple posible. En el mejor de los casos queda diagonal, y ese es el tema que cierra el volumen.

Conviene siempre verificar el resultado transformando un vector por los dos caminos: con la matriz nueva y con la definición original.

columna

i = T(b_{i})

en la base de llegada

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da la matriz en una base y la pide en otra. Armá las matrices de cambio y multiplicá en el orden correcto. Verificá con un vector antes de dar el resultado.

Ejemplo 1

Hallar la matriz de $T(x, y) = (2x, x + 3y)$ en la base $B = {(1, 1), (1, -1)}$ , de salida y de llegada.

Transformamos el primer vector. $T(1, 1) = (2, 4)$ , y ahora hay que escribirlo en $B$ : $a + b = 2$ y $a - b = 4$ dan $(3, -1)$ .
Transformamos el segundo. $T(1, -1) = (2, -2)$ , que en $B$ es $(0, 2)$ .
Armamos la matriz con esas coordenadas como columnas. $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ . Su determinante es $6$ , el mismo que el de la matriz canónica.
Respuesta: $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Verificar que las dos matrices describen la misma transformación, usando $v = (1, 1)$ .

Por la matriz canónica. $T(1, 1) = (2, 4)$ en coordenadas canónicas.
Por la matriz en B. Las coordenadas de $(1, 1)$ en $B$ son $(1, 0)$ , y multiplicando da $(3, -1)$ .
Traducimos de vuelta. $3(1, 1) - 1(1, -1) = (2, 4)$ . Es el mismo vector, escrito en otro sistema de referencia.
Respuesta: las dos dan $(2, 4)$

Error típico

Poner directamente las imágenes sin pasarlas a coordenadas. Con base de llegada { $(1{,}1), (1,-1)$ }, la imagen $(2, 4)$ no aporta la columna $(2, 4)$ sino $(3, -1)$ , que son sus coordenadas en esa base.

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .