Cómo se diagonaliza

Diagonalizar es escribir la matriz como el producto de tres: una matriz de autovectores, una diagonal y la inversa de la primera.

La matriz diagonal lleva los autovalores en la diagonal. La otra tiene los autovectores como columnas.

El orden es lo que hay que cuidar: la columna número tres tiene que ser un autovector del autovalor que está en la posición tres de la diagonal. Si se desordena, la igualdad no se cumple.

El procedimiento completo tiene cuatro pasos. Se hallan los autovalores con el polinomio característico, se calcula un autovector por cada uno resolviendo el sistema, se arma la matriz con esos autovectores como columnas, y se escribe la diagonal en el mismo orden.

Ni la matriz de autovectores ni la diagonal son únicas: cambiando el orden de los autovalores se obtiene otra descomposición igualmente válida.

Conviene verificar el resultado multiplicando, aunque sea parcialmente. Es la forma más rápida de detectar un error de orden.

A = P D P^{-1}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide diagonalizar. Hallá autovalores, calculá un autovector por cada uno, y armá las dos matrices respetando el mismo orden en las columnas y en la diagonal.

Ejemplo 1

Diagonalizar $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ .

Recuperamos autovalores y autovectores. $\lambda = 1$ con $(1, -1)$ y $\lambda = 3$ con $(1, 1)$ .
Armamos P y D en el mismo orden. $P =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

y $D =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ .
Controlamos con la primera columna. $A \cdot (1, -1) = (1, -1)$ , que es $1$ vez la columna: coincide con el primer elemento de $D$ .
Respuesta: $P =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ , $D =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Verificar que $A P = P D$ en ese caso.

Calculamos A por P. Primera columna: $(1, -1)$ . Segunda: $(3, 3)$ .
Calculamos P por D. Primera columna: $1 \cdot (1, -1) = (1, -1)$ . Segunda: $3 \cdot (1, 1) = (3, 3)$ .
Comparamos. Son iguales. Esa igualdad es equivalente a $A = P D P^{-1}$ y evita tener que calcular la inversa para controlar.
Respuesta: las dos dan $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

Error típico

Armar D con los autovalores en un orden y P con los autovectores en otro. La correspondencia es columna por columna, y romperla hace que $A = P D P^{-1}$ deje de ser cierta.

Practicar

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