Ejercicios: Cómo se diagonaliza

1. Diagonalizá $A = \begin{bmatrix}-4 & 1 \\ -3 & 0\end{bmatrix}$ , indicando $P$ y $D$ .

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1. Hallamos los autovalores. Del polinomio característico salen $\lambda_1 = -3$ y $\lambda_2 = -1$ .

2. Hallamos un autovector de cada uno. Se resuelve $(A - \lambda I)v = 0$ para cada autovalor, quedándose con una solución no nula.

3. Armamos $P$ . Sus columnas son los autovectores, en el mismo orden en que se pongan los autovalores.

4. Armamos $D$ . $D = \begin{bmatrix}-3 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ , con los autovalores en la diagonal.

5. Escribimos la descomposición. $A = PDP^{-1}$ . El orden de las columnas de $P$ tiene que coincidir con el de los autovalores en $D$ .

Respuesta: $D = \begin{bmatrix}-3 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ , con $P$ formada por los autovectores correspondientes

2. Diagonalizá $A = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ y explicá qué pasa.

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1. Miramos la matriz. Ya es diagonal: todos los elementos fuera de la diagonal son cero.

2. Hallamos los autovalores. Son los de la diagonal: $3$ y $-1$ .

3. Hallamos los autovectores. Son los vectores de la base canónica: $(1; 0)$ para $\lambda = 3$ y $(0; 1)$ para $\lambda = -1$ .

4. Armamos las matrices. $P = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ , la identidad, y $D = A$ .

5. Concluimos. Una matriz diagonal ya está diagonalizada: la base canónica ya es una base de autovectores.

Respuesta: $P = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ y $D = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$

3. Explicá por qué el orden de las columnas de $P$ tiene que coincidir con el de los autovalores en $D$ .

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1. Escribimos qué significa cada columna. La columna $i$ de $P$ es un autovector, y el elemento $i$ de la diagonal de $D$ tiene que ser su autovalor.

2. Miramos la igualdad. En $A = PDP^{-1}$ , cada columna de $P$ queda multiplicada por el elemento correspondiente de $D$ .

3. Vemos qué pasa si se desordena. Si el autovector de la primera columna se aparea con el autovalor equivocado, la igualdad deja de cumplirse.

4. Damos el control. Verificar $AP = PD$ detecta el error al instante, y es más rápido que calcular $P^{-1}$ .

5. Observamos. Se pueden elegir muchos órdenes distintos, y cada uno da una descomposición válida. Lo que no se puede es mezclarlos.

Respuesta: porque cada columna de $P$ tiene que aparearse con su propio autovalor en la misma posición de $D$

4. Verificá una diagonalización de $A = \begin{bmatrix}-3 & 1 \\ -2 & 0\end{bmatrix}$ comprobando que $AP = PD$ , sin calcular $P^{-1}$ .

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1. Vemos por qué conviene. La igualdad $A = PDP^{-1}$ es equivalente a $AP = PD$ , y esta última no requiere invertir nada.

2. Planteamos el lado izquierdo. Se multiplica $A$ por cada columna de $P$ , o sea se aplica la transformación a cada autovector.

3. Planteamos el lado derecho. Se multiplica cada columna de $P$ por su autovalor correspondiente.

4. Comparamos. Por definición de autovector, $Av_i = \lambda_i v_i$ , así que las dos cosas coinciden columna por columna.

5. Concluimos. La igualdad se cumple, así que la diagonalización es correcta. Este control es el más rápido y el que conviene hacer siempre.

Respuesta: se verifica columna por columna: $Av_i = \lambda_i v_i$

5. Diagonalizá $A = \begin{bmatrix}-6 & 2 \\ -4 & 0\end{bmatrix}$ , indicando $P$ y $D$ .

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1. Hallamos los autovalores. Del polinomio característico salen $\lambda_1 = -4$ y $\lambda_2 = -2$ .

2. Hallamos un autovector de cada uno. Se resuelve $(A - \lambda I)v = 0$ para cada autovalor, quedándose con una solución no nula.

3. Armamos $P$ . Sus columnas son los autovectores, en el mismo orden en que se pongan los autovalores.

4. Armamos $D$ . $D = \begin{bmatrix}-4 & 0 \\ 0 & -2\end{bmatrix}$ , con los autovalores en la diagonal.

5. Escribimos la descomposición. $A = PDP^{-1}$ . El orden de las columnas de $P$ tiene que coincidir con el de los autovalores en $D$ .

Respuesta: $D = \begin{bmatrix}-4 & 0 \\ 0 & -2\end{bmatrix}$ , con $P$ formada por los autovectores correspondientes

6. Diagonalizá $A = \begin{bmatrix}5 & 0 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$ .

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1. Hallamos los autovalores. La matriz es triangular inferior, así que los autovalores son los de la diagonal: $5$ y $1$ .

2. Verificamos que se pueda. Son distintos, así que hay dos autovectores independientes: es diagonalizable.

3. Hallamos el autovector de $\lambda = 5$ . $A - 5I = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 2 & -4\end{bmatrix}$ , cuya ecuación es $2x - 4y = 0$ , o sea $x = 2y$ : el autovector es $(2; 1)$ .

4. Hallamos el de $\lambda = 1$ . $A - I = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 2 & 0\end{bmatrix}$ , cuya ecuación es $x = 0$ : el autovector es $(0; 1)$ .

5. Armamos las matrices. $P = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$ y $D = \begin{bmatrix}5 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ .

6. Verificamos. $AP = \begin{bmatrix}10 & 0 \\ 5 & 1\end{bmatrix}$ y $PD = \begin{bmatrix}10 & 0 \\ 5 & 1\end{bmatrix}$ : coinciden, así que $A = PDP^{-1}$ .

Respuesta: $P = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$ y $D = \begin{bmatrix}5 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

7. Explicá por qué la matriz $P$ de una diagonalización no es única, y qué se puede cambiar sin romper la igualdad.

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1. Miramos qué son las columnas. Son autovectores, y cada autovector se puede multiplicar por cualquier número no nulo sin dejar de serlo.

2. Vemos el primer grado de libertad. Cambiar una columna por un múltiplo suyo da otra $P$ válida, con la misma $D$ .

3. Vemos el segundo. También se puede cambiar el orden de las columnas, siempre que se reordene la diagonal de $D$ igual.

4. Vemos el tercero. Si un autovalor tiene multiplicidad geométrica mayor que uno, se puede elegir cualquier base de su autoespacio.

5. Concluimos. La descomposición $A = PDP^{-1}$ nunca es única, aunque $D$ queda determinada salvo el orden de la diagonal.

6. Damos la lectura práctica. Dos personas pueden llegar a $P$ distintas y las dos estar bien. Lo que hay que verificar es $AP = PD$ , no comparar con una respuesta esperada.

Respuesta: no es única: se puede escalar cada columna, reordenarlas junto con $D$ , y elegir cualquier base de cada autoespacio

8. Verificá una diagonalización de $A = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ -5 & 0\end{bmatrix}$ comprobando que $AP = PD$ , sin calcular $P^{-1}$ .

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1. Vemos por qué conviene. La igualdad $A = PDP^{-1}$ es equivalente a $AP = PD$ , y esta última no requiere invertir nada.

2. Planteamos el lado izquierdo. Se multiplica $A$ por cada columna de $P$ , o sea se aplica la transformación a cada autovector.

3. Planteamos el lado derecho. Se multiplica cada columna de $P$ por su autovalor correspondiente.

4. Comparamos. Por definición de autovector, $Av_i = \lambda_i v_i$ , así que las dos cosas coinciden columna por columna.

5. Concluimos. La igualdad se cumple, así que la diagonalización es correcta. Este control es el más rápido y el que conviene hacer siempre.

Respuesta: se verifica columna por columna: $Av_i = \lambda_i v_i$

9. Diagonalizá $A = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ -3 & -2\end{bmatrix}$ , indicando $P$ y $D$ .

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1. Hallamos los autovalores. Del polinomio característico salen $\lambda_1 = 1$ y $\lambda_2 = -4$ .

2. Hallamos un autovector de cada uno. Se resuelve $(A - \lambda I)v = 0$ para cada autovalor, quedándose con una solución no nula.

3. Armamos $P$ . Sus columnas son los autovectores, en el mismo orden en que se pongan los autovalores.

4. Armamos $D$ . $D = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -4\end{bmatrix}$ , con los autovalores en la diagonal.

5. Escribimos la descomposición. $A = PDP^{-1}$ . El orden de las columnas de $P$ tiene que coincidir con el de los autovalores en $D$ .

Respuesta: $D = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -4\end{bmatrix}$ , con $P$ formada por los autovectores correspondientes

10. Diagonalizá $A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ .

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1. Calculamos el polinomio característico. $p(\lambda) = \lambda^2 - 1$ , con raíces $\lambda_1 = 1$ y $\lambda_2 = -1$ .

2. Verificamos que se pueda. Los autovalores son distintos, así que es diagonalizable.

3. Hallamos el autovector de $\lambda = 1$ . $A - I = \begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}$ , con ecuación $x = y$ : el autovector es $(1; 1)$ .

4. Hallamos el de $\lambda = -1$ . $A + I = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$ , con ecuación $x + y = 0$ : el autovector es $(1; -1)$ .

5. Armamos las matrices. $P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}$ y $D = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ .

6. Interpretamos. $A$ intercambia las dos coordenadas. La dirección $(1; 1)$ queda fija y la $(1; -1)$ se invierte: es una simetría respecto de la recta $y = x$ .

Respuesta: $P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}$ y $D = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$

11. Explicá qué significa geométricamente la igualdad $A = PDP^{-1}$ , leyendo qué hace cada factor.

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1. Leemos el orden de aplicación. Como las matrices se aplican de derecha a izquierda, primero actúa $P^{-1}$ , después $D$ y por último $P$ .

2. Interpretamos $P^{-1}$ . Traduce un vector de coordenadas canónicas a coordenadas en la base de autovectores.

3. Interpretamos $D$ . En esa base la transformación es un simple estiramiento: cada coordenada se multiplica por su autovalor, sin mezclarse con las otras.

4. Interpretamos $P$ . Traduce el resultado de vuelta a coordenadas canónicas.

5. Juntamos. $A$ hace algo que parece complicado en la base canónica, pero que en la base correcta es solo estirar cada eje por separado.

6. Sacamos la consecuencia. Diagonalizar es encontrar el punto de vista desde el cual la transformación se vuelve simple. Por eso sirve para calcular potencias: estirar muchas veces es elevar cada factor de estiramiento.

Respuesta: $P^{-1}$ cambia a la base de autovectores, $D$ estira cada eje por su autovalor, y $P$ vuelve a las coordenadas originales

12. Verificá una diagonalización de $A = \begin{bmatrix}-1 & -1 \\ 0 & -2\end{bmatrix}$ comprobando que $AP = PD$ , sin calcular $P^{-1}$ .

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1. Vemos por qué conviene. La igualdad $A = PDP^{-1}$ es equivalente a $AP = PD$ , y esta última no requiere invertir nada.

2. Planteamos el lado izquierdo. Se multiplica $A$ por cada columna de $P$ , o sea se aplica la transformación a cada autovector.

3. Planteamos el lado derecho. Se multiplica cada columna de $P$ por su autovalor correspondiente.

4. Comparamos. Por definición de autovector, $Av_i = \lambda_i v_i$ , así que las dos cosas coinciden columna por columna.

5. Concluimos. La igualdad se cumple, así que la diagonalización es correcta. Este control es el más rápido y el que conviene hacer siempre.

Respuesta: se verifica columna por columna: $Av_i = \lambda_i v_i$