Ejercicios: Cuándo se puede diagonalizar

2. Comparamos los autovalores entre sí. Son dos números distintos.

3. Aplicamos el criterio. Si una matriz de orden $n$ tiene $n$ autovalores distintos, es diagonalizable. Cada autovalor distinto aporta al menos un autovector independiente.

4. Concluimos. La matriz es diagonalizable.

5. Observamos. Autovalores distintos es condición suficiente pero no necesaria: una matriz con autovalores repetidos también puede ser diagonalizable.

Respuesta: sí es diagonalizable: tiene dos autovalores distintos

2. Calculamos el autoespacio. $A - 4I = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$, cuya única ecuación es $y = 0$.

3. Contamos la dimensión. El autoespacio es la recta generada por $(1; 0)$: multiplicidad geométrica $1$.

4. Comparamos. La geométrica ($1$) es menor que la algebraica ($2$).

5. Concluimos. No es diagonalizable: no hay dos autovectores independientes para armar una base.

Respuesta: no es diagonalizable: la multiplicidad geométrica es menor que la algebraica

2. Calculamos el autoespacio. $A + 2I$ es la matriz nula, así que todo vector la satisface.

3. Contamos la dimensión. El autoespacio es todo $\mathbb{R}^2$: multiplicidad geométrica $2$.

4. Comparamos. Las dos multiplicidades coinciden.

5. Concluimos. La matriz es diagonalizable. De hecho ya es diagonal, y eso muestra que tener autovalores repetidos no impide diagonalizar.

Respuesta: sí es diagonalizable: las multiplicidades coinciden

2. Damos la forma práctica. Alcanza con verificar que para cada autovalor la multiplicidad geométrica coincida con la algebraica.

3. Vemos el caso fácil. Si todos los autovalores son distintos, el criterio se cumple solo y no hace falta calcular autoespacios.

4. Vemos cuándo falla. Falla cuando algún autovalor repetido no aporta suficientes autovectores independientes.

5. Vemos el otro caso de falla. Sobre los reales también falla si el polinomio característico no tiene todas sus raíces reales, como en una rotación.

Respuesta: es diagonalizable cuando hay $n$ autovectores independientes, o sea cuando las multiplicidades coinciden en todos los autovalores

2. Comparamos los autovalores entre sí. Son dos números distintos.

3. Aplicamos el criterio. Si una matriz de orden $n$ tiene $n$ autovalores distintos, es diagonalizable. Cada autovalor distinto aporta al menos un autovector independiente.

4. Concluimos. La matriz es diagonalizable.

5. Observamos. Autovalores distintos es condición suficiente pero no necesaria: una matriz con autovalores repetidos también puede ser diagonalizable.

Respuesta: sí es diagonalizable: tiene dos autovalores distintos

2. Comparamos los autovalores. Son distintos entre sí.

3. Aplicamos el criterio rápido. Autovectores de autovalores distintos son linealmente independientes, así que con dos autovalores distintos en una matriz de $2 \times 2$ ya hay dos autovectores independientes.

4. Concluimos. Es diagonalizable, y no hizo falta calcular ningún autoespacio.

5. Escribimos la forma diagonal. $D = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix}$, con los autovalores en la diagonal.

6. Comparamos con el caso anterior. La otra matriz también era triangular con un elemento no nulo arriba, pero tenía el autovalor repetido. Lo que decide no es la forma de la matriz sino si los autovalores se repiten.

Respuesta: sí es diagonalizable: tiene dos autovalores distintos, $2$ y $5$

2. Calculamos el autoespacio. $A - 3I$ es la matriz nula, así que todo vector la satisface.

3. Contamos la dimensión. El autoespacio es todo $\mathbb{R}^2$: multiplicidad geométrica $2$.

4. Comparamos. Las dos multiplicidades coinciden.

5. Concluimos. La matriz es diagonalizable. De hecho ya es diagonal, y eso muestra que tener autovalores repetidos no impide diagonalizar.

Respuesta: sí es diagonalizable: las multiplicidades coinciden

2. Usamos la independencia. Autovectores correspondientes a autovalores distintos son linealmente independientes.

3. Juntamos las dos cosas. Quedan $n$ autovectores independientes en un espacio de dimensión $n$.

4. Concluimos. Esos $n$ vectores forman una base, y una base de autovectores es exactamente la condición de diagonalizabilidad.

5. Damos el uso práctico. Es el atajo más útil del tema: si al calcular el polinomio característico salen $n$ raíces distintas, se puede afirmar que es diagonalizable sin calcular ningún autoespacio.

6. Aclaramos que no es necesario. La recíproca es falsa: la identidad tiene un solo autovalor repetido y es diagonalizable. Autovalores distintos alcanzan, pero no hacen falta.

Respuesta: porque cada autovalor aporta un autovector y los de autovalores distintos son independientes, así que quedan $n$ independientes

2. Comparamos los autovalores entre sí. Son dos números distintos.

3. Aplicamos el criterio. Si una matriz de orden $n$ tiene $n$ autovalores distintos, es diagonalizable. Cada autovalor distinto aporta al menos un autovector independiente.

4. Concluimos. La matriz es diagonalizable.

5. Observamos. Autovalores distintos es condición suficiente pero no necesaria: una matriz con autovalores repetidos también puede ser diagonalizable.

Respuesta: sí es diagonalizable: tiene dos autovalores distintos

2. Notamos que el autovalor se repite. No se puede usar el criterio de autovalores distintos: hay que calcular el autoespacio.

3. Calculamos el autoespacio. $A - 6I = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$: la matriz nula, que todo vector satisface.

4. Leemos la geométrica. El autoespacio es todo $\mathbb{R}^2$, de dimensión $2$.

5. Comparamos. Algebraica $2$, geométrica $2$: coinciden.

6. Concluimos. Es diagonalizable. De hecho ya es diagonal, y el resultado confirma que un autovalor repetido no impide diagonalizar mientras aporte suficientes autovectores.

Respuesta: sí es diagonalizable: la multiplicidad geométrica de $\lambda = 6$ también vale $2$

2. Calculamos el autoespacio. $A - 5I$ es la matriz nula, así que todo vector la satisface.

3. Contamos la dimensión. El autoespacio es todo $\mathbb{R}^2$: multiplicidad geométrica $2$.

4. Comparamos. Las dos multiplicidades coinciden.

5. Concluimos. La matriz es diagonalizable. De hecho ya es diagonal, y eso muestra que tener autovalores repetidos no impide diagonalizar.

Respuesta: sí es diagonalizable: las multiplicidades coinciden

2. Damos una diagonalizable e inversible. $A = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$: autovalores $2$ y $3$, distintos y no nulos.

3. Damos una diagonalizable no inversible. $A = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$: es diagonal, así que es diagonalizable, pero el autovalor $0$ la hace no inversible.

4. Damos una inversible no diagonalizable. $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 0 & 4\end{bmatrix}$: determinante $16 \neq 0$, pero la multiplicidad geométrica de $\lambda = 4$ es $1$ y la algebraica $2$.

5. Damos una que no es ninguna de las dos. $A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$: determinante $0$, y el autovalor $0$ tiene geométrica $1$ contra algebraica $2$.

6. Concluimos. Las cuatro combinaciones existen, así que ninguna de las dos propiedades implica la otra. Conviene chequearlas por separado.

Respuesta: son independientes entre sí: existen matrices de las cuatro combinaciones posibles