Ejercicios: Potencias de una matriz

1. Con $A = PDP^{-1}$ y $D = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ , hallá $D^{4}$ y explicá cómo se obtiene $A^{4}$ .

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1. Elevamos la diagonal. $D^{4} = \begin{bmatrix}16 & 0 \\ 0 & 81\end{bmatrix}$ , elevando cada elemento de la diagonal.

2. Escribimos la potencia de $A$ . $A^{4} = PD^{4}P^{-1}$

3. Explicamos por qué funciona. Al multiplicar $PDP^{-1}$ por sí misma, los factores $P^{-1}P$ del medio se cancelan y queda $PD^2P^{-1}$ . Repitiendo, queda $PD^{4}P^{-1}$ .

4. Vemos la ventaja. En vez de hacer $3$ productos de matrices, alcanza con elevar dos números y hacer dos productos.

5. Observamos. Esta es la aplicación más práctica de la diagonalización.

Respuesta: $D^{4} = \begin{bmatrix}16 & 0 \\ 0 & 81\end{bmatrix}$ , y $A^{4} = PD^{4}P^{-1}$

2. Explicá por qué al calcular $A^n = PD^nP^{-1}$ se cancelan los factores del medio.

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1. Escribimos el cuadrado. $A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1})$

2. Agrupamos. $= PD(P^{-1}P)DP^{-1}$

3. Aplicamos la definición de inversa. $P^{-1}P = I$ , y multiplicar por la identidad no cambia nada.

4. Simplificamos. $A^2 = PD^2P^{-1}$

5. Generalizamos. Repitiendo el argumento se obtiene $A^n = PD^nP^{-1}$ para cualquier $n$ . Toda la dificultad se reduce a elevar los números de la diagonal.

Respuesta: porque $P^{-1}P = I$ y la identidad no altera el producto

3. Calculá $A^{10}$ con $A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ .

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1. Miramos la matriz. Ya es diagonal, así que no hace falta diagonalizar.

2. Elevamos cada elemento. $1^{10} = 1$ y $(-1)^{10} = 1$ , porque el exponente es par.

3. Escribimos el resultado. $A^{10} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ , la identidad.

4. Interpretamos. La transformación es una reflexión respecto del eje $x$ . Aplicarla dos veces devuelve todo a su lugar, así que cualquier potencia par da la identidad.

5. Observamos. Con potencia impar daría la matriz original.

Respuesta: $A^{10} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

4. Decidí si conviene diagonalizar $A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ para calcular $A^{20}$ .

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1. Verificamos si es diagonalizable. El único autovalor es $2$ con multiplicidad algebraica $2$ , pero el autoespacio tiene dimensión $1$ .

2. Concluimos sobre la diagonalización. La matriz no es diagonalizable, así que no se puede usar $PD^nP^{-1}$ .

3. Buscamos otro camino. Calculando las primeras potencias aparece un patrón: la matriz se mantiene triangular y el elemento de arriba a la derecha crece de forma regular.

4. Escribimos la fórmula. $A^n = \begin{bmatrix} 2^n & n \cdot 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{bmatrix}$

5. Observamos. Cuando no se puede diagonalizar hay que buscar el patrón a mano, o usar la forma de Jordan, que es la generalización del método.

Respuesta: no conviene: no es diagonalizable, hay que buscar el patrón calculando las primeras potencias

5. Con $A = PDP^{-1}$ y $D = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ , hallá $D^{3}$ y explicá cómo se obtiene $A^{3}$ .

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1. Elevamos la diagonal. $D^{3} = \begin{bmatrix}8 & 0 \\ 0 & 27\end{bmatrix}$ , elevando cada elemento de la diagonal.

2. Escribimos la potencia de $A$ . $A^{3} = PD^{3}P^{-1}$

3. Explicamos por qué funciona. Al multiplicar $PDP^{-1}$ por sí misma, los factores $P^{-1}P$ del medio se cancelan y queda $PD^2P^{-1}$ . Repitiendo, queda $PD^{3}P^{-1}$ .

4. Vemos la ventaja. En vez de hacer $2$ productos de matrices, alcanza con elevar dos números y hacer dos productos.

5. Observamos. Esta es la aplicación más práctica de la diagonalización.

Respuesta: $D^{3} = \begin{bmatrix}8 & 0 \\ 0 & 27\end{bmatrix}$ , y $A^{3} = PD^{3}P^{-1}$

6. Explicá por qué elevar una matriz diagonal a la potencia $n$ es simplemente elevar cada elemento de la diagonal.

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1. Escribimos el caso de $2 \times 2$ . Sea $D = \begin{bmatrix}a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}$ con $a$ y $b$ números.

2. Multiplicamos $D$ por sí misma. Cada entrada del producto es una suma de productos fila por columna, y como casi todo es cero, en la posición $(1;1)$ queda $a \cdot a$ y en la $(2;2)$ queda $b \cdot b$ .

3. Miramos las posiciones de afuera. En la posición $(1;2)$ queda $a \cdot 0 + 0 \cdot b = 0$ , y lo mismo en la $(2;1)$ : los ceros se mantienen.

4. Escribimos el cuadrado. $D^2 = \begin{bmatrix}a^2 & 0 \\ 0 & b^2\end{bmatrix}$

5. Repetimos. Volviendo a multiplicar pasa lo mismo, así que $D^n$ tiene $a^n$ y $b^n$ en la diagonal.

6. Damos la razón de fondo. Cada elemento de la diagonal actúa sobre su propio eje sin mezclarse con los demás, así que las potencias se calculan eje por eje.

Respuesta: porque las direcciones no se mezclan: cada eje se multiplica por su propio número, así que la potencia se calcula elemento por elemento

7. Calculá $A^{5}$ con $A = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ .

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1. Miramos la matriz. Es diagonal, así que la potencia se calcula elemento por elemento.

2. Elevamos el primer elemento. $2^{5} = 32$ .

3. Elevamos el segundo. $3^{5} = 243$ .

4. Escribimos el resultado. $A^{5} = \begin{bmatrix}32 & 0 \\ 0 & 243\end{bmatrix}$ .

5. Verificamos con el determinante. $\det(A) = 6$ , y $\det(A^5)$ tiene que ser $6^5 = 7776$ . En efecto, $32 \cdot 243 = 7776$ .

6. Observamos. El chequeo del determinante es barato y detecta casi cualquier error aritmético en este tipo de cuentas.

Respuesta: $A^{5} = \begin{bmatrix}32 & 0 \\ 0 & 243\end{bmatrix}$

8. Decidí si conviene diagonalizar $A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ para calcular $A^{n}$ , y hallá la fórmula.

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1. Verificamos si es diagonalizable. El único autovalor es $1$ , con multiplicidad algebraica $2$ .

2. Calculamos el autoespacio. $A - I = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ , cuya ecuación es $y = 0$ : la multiplicidad geométrica es $1$ .

3. Concluimos. No es diagonalizable, así que hay que buscar el patrón directamente.

4. Calculamos las primeras potencias. $A^2 = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ y $A^3 = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ .

5. Escribimos la fórmula. $A^n = \begin{bmatrix}1 & n \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ .

6. Interpretamos. Es un cizallamiento: desplaza horizontalmente en proporción a la altura. Aplicarlo $n$ veces desplaza $n$ veces más, y por eso el crecimiento es lineal y no exponencial como con autovalores distintos de uno.

Respuesta: no conviene diagonalizar porque no se puede; la fórmula es $A^n = \begin{bmatrix}1 & n \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

9. Con $A = PDP^{-1}$ y $D = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ , hallá $D^{5}$ y explicá cómo se obtiene $A^{5}$ .

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1. Elevamos la diagonal. $D^{5} = \begin{bmatrix}32 & 0 \\ 0 & 243\end{bmatrix}$ , elevando cada elemento de la diagonal.

2. Escribimos la potencia de $A$ . $A^{5} = PD^{5}P^{-1}$

3. Explicamos por qué funciona. Al multiplicar $PDP^{-1}$ por sí misma, los factores $P^{-1}P$ del medio se cancelan y queda $PD^2P^{-1}$ . Repitiendo, queda $PD^{5}P^{-1}$ .

4. Vemos la ventaja. En vez de hacer $4$ productos de matrices, alcanza con elevar dos números y hacer dos productos.

5. Observamos. Esta es la aplicación más práctica de la diagonalización.

Respuesta: $D^{5} = \begin{bmatrix}32 & 0 \\ 0 & 243\end{bmatrix}$ , y $A^{5} = PD^{5}P^{-1}$

10. Explicá por qué la diagonalización sirve para calcular $A^{100}$ y estimar cuánto trabajo ahorra.

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1. Contamos el trabajo directo. Multiplicar la matriz por sí misma $99$ veces son $99$ productos de matrices, cada uno con varias multiplicaciones y sumas.

2. Escribimos el camino con diagonalización. $A^{100} = PD^{100}P^{-1}$ .

3. Contamos el trabajo de ese camino. Hay que diagonalizar una vez, elevar los elementos de la diagonal a la $100$ , y hacer dos productos de matrices.

4. Comparamos. Se pasa de $99$ productos matriciales a dos, más las potencias de números sueltos.

5. Damos la condición. Solo sirve si la matriz es diagonalizable. Si no lo es, hay que buscar el patrón a mano o usar la forma de Jordan.

6. Damos el criterio práctico. Para exponentes chicos como $2$ o $3$ no vale la pena diagonalizar. La ventaja aparece cuando el exponente es grande o cuando se pide una fórmula para $n$ genérico.

Respuesta: sirve porque reduce el problema a elevar números de la diagonal: dos productos de matrices en vez de $99$

11. Calculá $A^{4}$ con $A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ , diagonalizando primero.

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1. Hallamos los autovalores. $p(\lambda) = \lambda^2 - 1$ , con raíces $1$ y $-1$ .

2. Hallamos los autovectores. Para $\lambda = 1$ sale $(1; 1)$ y para $\lambda = -1$ sale $(1; -1)$ .

3. Escribimos la forma diagonal. $D = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ , con $P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}$ .

4. Elevamos la diagonal. $D^4 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ , porque $1^4 = 1$ y $(-1)^4 = 1$ .

5. Volvemos a $A$ . $A^4 = PD^4P^{-1} = PIP^{-1} = PP^{-1} = I$ .

6. Verificamos sin diagonalizar. $A$ intercambia las coordenadas, así que $A^2$ es la identidad y cualquier potencia par también. El resultado coincide.

Respuesta: $A^{4} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ , la identidad

12. Decidí si conviene diagonalizar $A = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}$ para calcular $A^{12}$ .

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1. Miramos la matriz. Ya es diagonal.

2. Vemos qué implica. Diagonalizar es buscar una base donde la matriz quede diagonal, y acá la base canónica ya cumple eso: $P$ sería la identidad.

3. Concluimos. No hay nada que diagonalizar: el trabajo ya está hecho.

4. Calculamos directamente. $A^{12} = \begin{bmatrix}3^{12} & 0 \\ 0 & 4^{12}\end{bmatrix}$ , elevando cada elemento de la diagonal.

5. Comparamos con el caso general. Cuando la matriz no es diagonal pero sí diagonalizable, diagonalizar conviene. Cuando ya es diagonal, no hay paso previo. Cuando no es diagonalizable, hay que buscar el patrón.

6. Damos la regla de decisión. Antes de arrancar conviene mirar si la matriz ya es diagonal o triangular: eso ahorra todo el cálculo del polinomio característico.

Respuesta: no hay nada que diagonalizar: ya es diagonal, así que se eleva cada elemento de la diagonal