Potencias de una matriz

La aplicación más práctica de la diagonalización es calcular potencias altas de una matriz.

Si la matriz está diagonalizada, al elevarla a una potencia todas las matrices intermedias se cancelan entre sí y queda solo la diagonal elevada.

Y elevar una matriz diagonal es trivial: se eleva cada elemento de la diagonal por separado, sin hacer ningún producto de matrices.

Eso convierte un cálculo impracticable en uno de tres multiplicaciones. Para elevar a la potencia cien, sin diagonalizar habría que hacer noventa y nueve productos de matrices.

Los pasos son diagonalizar, elevar los elementos de la diagonal, y volver a multiplicar por las otras dos matrices.

El mismo truco sirve para otras cosas. Se puede calcular la raíz de una matriz sacando raíz a los elementos de la diagonal, y hasta la exponencial de una matriz, que aparece al resolver sistemas de ecuaciones diferenciales.

A^{n} = P D^{n} P^{-1}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide una potencia alta de una matriz. Diagonalizá, elevá los elementos de la diagonal, y volvé a multiplicar. Es el único método práctico para exponentes grandes.

Ejemplo 1

Calcular $A^{5}$ con $A =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ .

Recuperamos P y D. $P =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$
y $D =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ .
Elevamos la diagonal. $1^{5} = 1$ y $3^{5} = 243$ , así que $D^{5} =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 243 \end{bmatrix}$ .
Multiplicamos $P D^{5} P^{-1}$ . Con $P^{-1} = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

queda $\begin{bmatrix} 122 & 121 \\ 121 & 122 \end{bmatrix}$ .
Respuesta: $A^{5} =\begin{bmatrix} 122 & 121 \\ 121 & 122 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Verificar ese resultado con las propiedades de los autovalores.

Los autovalores de $A^{5}$ son las quintas potencias. Si $A v = \lambda v$ , entonces $A^{5} v = \lambda ^{5} v$ : los autovalores son $1$ y $243$ .
Controlamos la traza. Tiene que ser $1 + 243 = 244$ , y la matriz obtenida da $122 + 122 = 244$ .
Controlamos el determinante. Tiene que ser $1 \cdot 243 = 243$ , y da $122^{2} - 121^{2} = 243$ .
Respuesta: los dos controles cierran

Error típico

Elevar cada elemento de A al exponente. Eso solo vale para matrices diagonales. Con A cualquiera hay que hacer el producto completo, o diagonalizar primero.

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

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