Diagonalización ortogonal

Para las matrices simétricas la diagonalización se puede hacer con una base ortonormal, y eso simplifica bastante las cuentas.

Eso es lo que dice el teorema espectral, y garantiza de entrada que todos los autovalores son reales y que los autovectores de autovalores distintos son perpendiculares entre sí.

La consecuencia práctica es cómoda. Como la base es ortonormal, la matriz de cambio tiene su inversa igual a su transpuesta, así que no hay que calcular ninguna inversa.

El procedimiento tiene un paso extra respecto de la diagonalización común. Se buscan autovalores y autovectores como siempre, pero después hay que normalizar cada autovector dividiéndolo por su norma.

Si un autovalor está repetido, hay que ortogonalizar su autoespacio con Gram-Schmidt antes de normalizar, porque los autovectores de un mismo autovalor no salen ortogonales automáticamente.

Este resultado es la herramienta que clasifica formas cuadráticas: llevar la matriz a diagonal es encontrar los ejes donde la forma no tiene términos cruzados.

A = P D P^{T}, \quad P^{-1} = P^{T}

Cuándo se usa

Cuando la matriz es simétrica y el ejercicio pide diagonalizarla ortogonalmente. Normalizá los autovectores al final, y si algún autovalor está repetido, ortogonalizá su autoespacio antes.

Ejemplo 1

Diagonalizar ortogonalmente $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ .

Armamos el polinomio característico. Queda $(3-\lambda)^{2} - 1 = 0$ .
Despejamos. Los autovalores son $4$ y $2$ .
Buscamos el autovector de $4$ . Sale $(1, 1)$ .
Buscamos el de $2$ . Sale $(1, -1)$ , que es perpendicular al anterior, como garantiza el teorema.
Normalizamos dividiendo por el módulo, que es $\sqrt{2}$ en los dos casos.
Respuesta: $D = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ con la base ortonormal obtenida

Ejemplo 2

Verificar que los autovectores $(1{,}1)$ y $(1,-1)$ son ortogonales.

Calculamos el producto escalar. Multiplicamos componente a componente y sumamos.
Hacemos la cuenta. Queda $1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0$ .
Interpretamos. Producto escalar nulo significa perpendiculares.
Respuesta: son ortogonales

Error típico

Olvidar normalizar los autovectores. Sin ese paso la matriz de cambio no es ortogonal y su inversa no es la transpuesta.

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .