Qué es un número complejo

Los números complejos aparecen para resolver ecuaciones que no tienen solución entre los reales, como la que pide un número cuyo cuadrado sea negativo.

Se define la unidad imaginaria como el número cuyo cuadrado vale menos uno. A partir de ahí, un complejo es una parte real más una parte imaginaria multiplicada por esa unidad.

Esa forma se llama binómica y es la más usada para sumar y restar.

Los reales son un caso particular: son los complejos cuya parte imaginaria vale cero. Y los imaginarios puros son los que tienen parte real cero.

Dos complejos son iguales solo si coinciden las dos partes por separado. Esa condición es la que convierte una ecuación compleja en un sistema de dos ecuaciones reales, y es la técnica central de muchos ejercicios.

La potencia de la unidad imaginaria se repite cada cuatro: da la unidad, menos uno, menos la unidad y uno. Para calcular una potencia alta alcanza con mirar el resto de dividir el exponente por cuatro.

i^{2} = -1

Cuándo se usa

Cuando aparecen raíces de números negativos o ecuaciones sin solución real. Para resolver una ecuación con complejos, igualá parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria.

Ejemplo 1

Calcular $i^{15}$ .

Usamos que las potencias se repiten cada cuatro. Dividimos el exponente por $4$ : $15 = 4 \cdot 3 + 3$ .
Nos quedamos con el resto. El resto es $3$ , así que $i^{15} = i^{3}$ .
Escribimos el resultado. $i^{3} = -i$ . No hizo falta multiplicar quince veces.
Respuesta: $i^{15} = -i$

Ejemplo 2

Hallar $x$ e $y$ reales tales que $x + 3i = 5 - yi$ .

Igualamos las partes reales. $x = 5$ .
Igualamos las imaginarias. $3 = -y$ , así que $y = -3$ .
Verificamos. Con esos valores los dos lados son $5 + 3i$ . Una igualdad entre complejos son dos igualdades entre reales.
Respuesta: $x = 5$ , $y = -3$

Error típico

Decir que la parte imaginaria de $3 + 2i$ es $2i$ . Es $2$ : un número real. Arrastrar la i hace que después el módulo y el argumento salgan mal.

Practicar

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Otros subtemas de Números complejos y polinomios

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