Raíces n-ésimas

A diferencia de los reales, un complejo tiene tantas raíces de un índice dado como indica ese índice. Un complejo no nulo tiene exactamente tres raíces cúbicas y cuatro raíces cuartas.

El módulo de todas es el mismo: la raíz real del módulo original. Lo que cambia entre ellas es el argumento.

El primer argumento es el original dividido por el índice. Los demás se obtienen sumándole sucesivamente una vuelta completa dividida por el índice.

Como todas tienen el mismo módulo, están sobre una misma circunferencia. Y como los argumentos están espaciados uniformemente, forman un polígono regular.

Ese resultado geométrico es muy útil para verificar: si las raíces calculadas no quedan distribuidas de forma pareja, hay un error.

Hay que dar todas las raíces, no solo una. Dar una sola es una respuesta incompleta, y es el error más común del tema.

Después de la vuelta completa las raíces se repiten, así que no hay que seguir sumando más allá del índice.

módulo:

^{n}\sqrt{r} \cdot

argumentos:

(\theta + 360^{\circ}k) / n

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide raíces de un complejo o resolver una ecuación del tipo la incógnita elevada a un exponente igual a un complejo. Dá todas las raíces: son tantas como indique el índice.

Ejemplo 1

Hallar las tres raíces cúbicas de $8$ .

Pasamos el número a polar. El $8$ tiene módulo $8$ y argumento $0^{\circ}$ .
Calculamos el módulo de las raíces. $^{3}\sqrt{8} = 2$ , el mismo para las tres.
Calculamos los tres argumentos. Con $k = 0, 1, 2$ salen $0^{\circ}$ , $120^{\circ}$ y $240^{\circ}$ . Las raíces son $2$ , $-1 + \sqrt{3} i$ y $-1 - \sqrt{3} i$ .
Respuesta: las tres raíces

Ejemplo 2

Hallar las dos raíces cuadradas de $-4$ .

Pasamos a polar. El $-4$ tiene módulo $4$ y argumento $180^{\circ}$ , porque está sobre el eje real negativo.
Calculamos módulo y argumentos. El módulo es $\sqrt{4} = 2$ y los argumentos son $180^{\circ}/2 = 90^{\circ}$ y $(180^{\circ} + 360^{\circ})/2 = 270^{\circ}$ .
Escribimos las raíces. $2i$ y $-2i$ . Se verifica: $(2i)^{2} = 4i^{2} = -4$ .
Respuesta: $2i$ y $-2i$

Error típico

Calcular una sola raíz y contestar. Un complejo tiene n raíces n-ésimas, todas distintas. Contestar una sola es responder la pregunta de los reales, no la de los complejos.

Practicar

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Otros subtemas de Números complejos y polinomios

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