Ejercicios: Raíces n-ésimas

2. Calculamos el módulo de las raíces. Todas tienen módulo $\sqrt[4]{16} = 2$, porque $2^{4} = 16$.

3. Calculamos los argumentos. El primero es $\dfrac{0^\circ}{4} = 0^\circ$, y los siguientes se obtienen sumando $\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ cada vez.

4. Listamos los argumentos. $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$

5. Verificamos geométricamente. Las $4$ raíces tienen el mismo módulo y argumentos igualmente espaciados, así que forman un cuadrado sobre la circunferencia de radio $2$.

6. Controlamos. Hay que dar todas las raíces. Dar una sola es responder la pregunta de los reales, no la de los complejos.

Respuesta: las $4$ raíces tienen módulo $2$ y argumentos $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$

2. Calculamos el módulo de las raíces. $\sqrt[4]{16} = 2$, para las cuatro.

3. Calculamos el primer argumento. $\dfrac{90^\circ}{4} = 22{,}5^\circ$

4. Calculamos los demás. Se suma $\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ cada vez: $112{,}5^\circ$, $202{,}5^\circ$ y $292{,}5^\circ$.

5. Verificamos. Los cuatro puntos están sobre la circunferencia de radio $2$, separados $90^\circ$: forman un cuadrado.

Respuesta: las cuatro raíces tienen módulo $2$ y argumentos $22{,}5^\circ$, $112{,}5^\circ$, $202{,}5^\circ$ y $292{,}5^\circ$

2. Usamos De Moivre. Si $w$ tiene módulo $s$ y argumento $\varphi$, entonces $w^{4}$ tiene módulo $s^{4}$ y argumento $4\varphi$.

3. Igualamos los módulos. $s^{4} = |z|$ da un solo valor positivo posible para $s$.

4. Igualamos los argumentos. $4\varphi$ tiene que coincidir con el argumento de $z$ más cualquier cantidad de vueltas completas, así que $\varphi = \dfrac{\theta + 360^\circ k}{4}$.

5. Contamos las soluciones distintas. Para $k = 0, 1, \dots, 3$ se obtienen $4$ argumentos distintos. Con $k = 4$ se vuelve al primero, porque se completó una vuelta entera.

6. Concluimos. Hay exactamente $4$ raíces distintas, y no más.

Respuesta: porque después de $4$ valores del parámetro los argumentos se repiten

2. Escribimos el original. $z = 8(\cos 60^\circ + i\operatorname{sen} 60^\circ)$

3. Hallamos las otras raíces. Se suma $\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ al argumento sucesivamente.

4. Listamos las tres. Argumentos $20^\circ$, $140^\circ$ y $260^\circ$, todas con módulo $2$.

5. Verificamos. Los tres puntos están separados $120^\circ$ sobre la circunferencia de radio $2$: forman un triángulo equilátero.

Respuesta: $z = 8(\cos 60^\circ + i\operatorname{sen} 60^\circ)$, y las otras raíces tienen argumentos $140^\circ$ y $260^\circ$

2. Calculamos el módulo de las raíces. Todas tienen módulo $\sqrt[3]{27} = 3$, porque $3^{3} = 27$.

3. Calculamos los argumentos. El primero es $\dfrac{0^\circ}{3} = 0^\circ$, y los siguientes se obtienen sumando $\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ cada vez.

4. Listamos los argumentos. $0^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$

5. Verificamos geométricamente. Las $3$ raíces tienen el mismo módulo y argumentos igualmente espaciados, así que forman un triángulo equilátero sobre la circunferencia de radio $3$.

6. Controlamos. Hay que dar todas las raíces. Dar una sola es responder la pregunta de los reales, no la de los complejos.

Respuesta: las $3$ raíces tienen módulo $3$ y argumentos $0^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$

2. Calculamos el módulo de las raíces. $\sqrt[3]{8} = 2$, para las tres.

3. Calculamos el primer argumento. $\dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

4. Calculamos los demás. Se suma $\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ cada vez: $180^\circ$ y $300^\circ$.

5. Observamos un detalle. La de $180^\circ$ es $-2$, la única real de las tres. Las otras dos son complejas conjugadas.

6. Verificamos. Los tres puntos están sobre la circunferencia de radio $2$, separados $120^\circ$: forman un triángulo equilátero.

Respuesta: las tres raíces tienen módulo $2$ y argumentos $60^\circ$, $180^\circ$ y $300^\circ$

2. Usamos De Moivre. Si $w$ tiene módulo $s$ y argumento $\varphi$, entonces $w^{5}$ tiene módulo $s^{5}$ y argumento $5\varphi$.

3. Igualamos los módulos. $s^{5} = |z|$ da un solo valor positivo posible para $s$.

4. Igualamos los argumentos. $5\varphi$ tiene que coincidir con el argumento de $z$ más cualquier cantidad de vueltas completas, así que $\varphi = \dfrac{\theta + 360^\circ k}{5}$.

5. Contamos las soluciones distintas. Para $k = 0, 1, \dots, 4$ se obtienen $5$ argumentos distintos. Con $k = 5$ se vuelve al primero, porque se completó una vuelta entera.

6. Concluimos. Hay exactamente $5$ raíces distintas, y no más.

Respuesta: porque después de $5$ valores del parámetro los argumentos se repiten

2. Escribimos el original. $z = 81(\cos 100^\circ + i\operatorname{sen} 100^\circ)$

3. Hallamos las otras raíces. Se suma $\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ al argumento sucesivamente.

4. Listamos las cuatro. Argumentos $25^\circ$, $115^\circ$, $205^\circ$ y $295^\circ$, todas con módulo $3$.

5. Verificamos. Los cuatro puntos están separados $90^\circ$ sobre la circunferencia de radio $3$: forman un cuadrado.

6. Controlamos el paso clave. Elevar a la cuarta multiplica el argumento por $4$ y el módulo a la cuarta. Confundir eso y dividir en vez de multiplicar es el error más común de este ejercicio.

Respuesta: $z = 81(\cos 100^\circ + i\operatorname{sen} 100^\circ)$, y las otras raíces tienen argumentos $115^\circ$, $205^\circ$ y $295^\circ$

2. Calculamos el módulo de las raíces. Todas tienen módulo $\sqrt[3]{8} = 2$, porque $2^{3} = 8$.

3. Calculamos los argumentos. El primero es $\dfrac{0^\circ}{3} = 0^\circ$, y los siguientes se obtienen sumando $\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ cada vez.

4. Listamos los argumentos. $0^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$

5. Verificamos geométricamente. Las $3$ raíces tienen el mismo módulo y argumentos igualmente espaciados, así que forman un triángulo equilátero sobre la circunferencia de radio $2$.

6. Controlamos. Hay que dar todas las raíces. Dar una sola es responder la pregunta de los reales, no la de los complejos.

Respuesta: las $3$ raíces tienen módulo $2$ y argumentos $0^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$

2. Calculamos el módulo de las raíces. $\sqrt[5]{32} = 2$, para las cinco.

3. Calculamos el primer argumento. $\dfrac{0^\circ}{5} = 0^\circ$

4. Calculamos los demás. Se suma $\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ cada vez: $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$ y $288^\circ$.

5. Observamos un detalle. La de $0^\circ$ es $2$, la única real. Como el índice es impar, no aparece una segunda raíz real.

6. Verificamos. Los cinco puntos están sobre la circunferencia de radio $2$, separados $72^\circ$: forman un pentágono regular.

Respuesta: las cinco raíces tienen módulo $2$ y argumentos $0^\circ$, $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$ y $288^\circ$

2. Usamos De Moivre. Si $w$ tiene módulo $s$ y argumento $\varphi$, entonces $w^{6}$ tiene módulo $s^{6}$ y argumento $6\varphi$.

3. Igualamos los módulos. $s^{6} = |z|$ da un solo valor positivo posible para $s$.

4. Igualamos los argumentos. $6\varphi$ tiene que coincidir con el argumento de $z$ más cualquier cantidad de vueltas completas, así que $\varphi = \dfrac{\theta + 360^\circ k}{6}$.

5. Contamos las soluciones distintas. Para $k = 0, 1, \dots, 5$ se obtienen $6$ argumentos distintos. Con $k = 6$ se vuelve al primero, porque se completó una vuelta entera.

6. Concluimos. Hay exactamente $6$ raíces distintas, y no más.

Respuesta: porque después de $6$ valores del parámetro los argumentos se repiten

2. Escribimos el original. $z = 32(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$, que en binómica es $32i$.

3. Hallamos las otras raíces. Se suma $\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ al argumento sucesivamente.

4. Listamos las cinco. Argumentos $18^\circ$, $90^\circ$, $162^\circ$, $234^\circ$ y $306^\circ$, todas con módulo $2$.

5. Observamos un detalle. Una de las raíces quedó con argumento $90^\circ$, el mismo que el original. Pasa porque $90^\circ$ es múltiplo de $72^\circ$ más $18^\circ$, no porque haya un error.

6. Verificamos. Los cinco puntos están separados $72^\circ$ sobre la circunferencia de radio $2$: forman un pentágono regular.

Respuesta: $z = 32i$, y las otras raíces tienen argumentos $90^\circ$, $162^\circ$, $234^\circ$ y $306^\circ$