Ejercicios: Raíces de la unidad

2. Pasamos el $1$ a polar. Tiene módulo $1$ y argumento $0^\circ$.

3. Calculamos el módulo de las raíces. $\sqrt[3]{1} = 1$: todas están sobre la circunferencia unitaria.

4. Calculamos los argumentos. Se reparten en $3$ partes iguales: $0^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$.

5. Interpretamos. Forman un polígono regular de $3$ lados inscripto en la circunferencia unitaria, con un vértice en el $1$.

Respuesta: tienen módulo $1$ y argumentos $0^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$

2. Pasamos cada una a binómica. $\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ = 1$, y así con las demás.

3. Listamos las cuatro. $1$, $i$, $-1$ y $-i$.

4. Verificamos. Elevando cada una a la cuarta se obtiene $1$: por ejemplo $i^4 = 1$ y $(-1)^4 = 1$.

5. Observamos. Son los cuatro valores del ciclo de las potencias de $i$. No es casualidad: ese ciclo es exactamente el conjunto de las raíces cuartas de la unidad.

Respuesta: las raíces son $1$, $i$, $-1$ y $-i$

2. Damos el argumento geométrico. Al estar repartidos de forma perfectamente simétrica alrededor del origen, se compensan entre sí.

3. Damos el argumento algebraico. Las raíces son las soluciones de $z^{6} - 1 = 0$, y en ese polinomio el coeficiente de $z^{5}$ es cero.

4. Aplicamos la relación entre raíces y coeficientes. La suma de las raíces es el opuesto de ese coeficiente dividido por el principal, o sea cero.

5. Concluimos. La suma vale cero, y el mismo argumento vale para cualquier índice.

Respuesta: la suma vale $0$

2. Listamos las raíces sextas. Tienen módulo $1$ y argumentos $0^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$ y $300^\circ$.

3. Probamos con la de $60^\circ$. Sus potencias sucesivas van rotando de a $60^\circ$ y recorren las seis raíces antes de volver al principio. Es primitiva.

4. Probamos con la de $120^\circ$. Sus potencias solo alcanzan $120^\circ$, $240^\circ$ y $0^\circ$: tres de las seis. No es primitiva.

5. Damos el criterio. Una raíz es primitiva cuando el número de vueltas que la define no comparte divisores con el índice.

Respuesta: es primitiva cuando sus potencias generan todas las raíces; entre las sextas, la de $60^\circ$ lo es y la de $120^\circ$ no

2. Pasamos el $1$ a polar. Tiene módulo $1$ y argumento $0^\circ$.

3. Calculamos el módulo de las raíces. $\sqrt[4]{1} = 1$: todas están sobre la circunferencia unitaria.

4. Calculamos los argumentos. Se reparten en $4$ partes iguales: $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$.

5. Interpretamos. Forman un polígono regular de $4$ lados inscripto en la circunferencia unitaria, con un vértice en el $1$.

Respuesta: tienen módulo $1$ y argumentos $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$

2. Pasamos la primera a binómica. $\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ = 1$

3. Pasamos la de $120^\circ$. $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ y $\operatorname{sen} 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, así que queda $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$.

4. Pasamos la de $240^\circ$. $\cos 240^\circ = -\dfrac{1}{2}$ y $\operatorname{sen} 240^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, así que queda $-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$.

5. Verificamos. Las tres suman cero, como corresponde a las raíces de la unidad de cualquier índice mayor que uno.

6. Observamos. Solo una es real. Las otras dos son complejas conjugadas entre sí, porque $x^3 - 1$ tiene coeficientes reales.

Respuesta: las raíces son $1$, $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ y $-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

2. Damos el argumento geométrico. Al estar repartidos de forma perfectamente simétrica alrededor del origen, se compensan entre sí.

3. Damos el argumento algebraico. Las raíces son las soluciones de $z^{5} - 1 = 0$, y en ese polinomio el coeficiente de $z^{4}$ es cero.

4. Aplicamos la relación entre raíces y coeficientes. La suma de las raíces es el opuesto de ese coeficiente dividido por el principal, o sea cero.

5. Concluimos. La suma vale cero, y el mismo argumento vale para cualquier índice.

Respuesta: la suma vale $0$

2. Listamos las cuatro. $1$, $i$, $-1$ y $-i$, con argumentos $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ y $270^\circ$.

3. Probamos con $i$. $i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$: aparecen las cuatro. Es primitiva.

4. Probamos con $-1$. $-1$ y $(-1)^2 = 1$: solo dos. No es primitiva, porque $-1$ ya es raíz cuadrada de la unidad.

5. Probamos con $1$. Todas sus potencias valen $1$. Nunca es primitiva salvo en el caso trivial de índice uno.

6. Aplicamos el criterio. Las primitivas son las de $90^\circ$ y $270^\circ$, o sea $i$ y $-i$, porque $1$ y $3$ no comparten divisores con $4$.

Respuesta: las primitivas son $i$ y $-i$; $1$ y $-1$ no lo son

2. Pasamos el $1$ a polar. Tiene módulo $1$ y argumento $0^\circ$.

3. Calculamos el módulo de las raíces. $\sqrt[6]{1} = 1$: todas están sobre la circunferencia unitaria.

4. Calculamos los argumentos. Se reparten en $6$ partes iguales: $0^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$.

5. Interpretamos. Forman un polígono regular de $6$ lados inscripto en la circunferencia unitaria, con un vértice en el $1$.

Respuesta: tienen módulo $1$ y argumentos $0^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$

2. Pasamos las dos reales. La de $0^\circ$ es $1$ y la de $180^\circ$ es $-1$.

3. Pasamos las del semiplano superior. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ para $60^\circ$ y $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ para $120^\circ$.

4. Pasamos las del semiplano inferior. $-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ para $240^\circ$ y $\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ para $300^\circ$.

5. Verificamos. Cada raíz aparece junto con su opuesta, porque $6$ es par: si $w$ es raíz sexta, $-w$ también.

6. Observamos. Entre las seis están las tres cúbicas de la unidad. Eso pasa siempre que el índice menor divide al mayor.

Respuesta: las raíces son $1$, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$, $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$, $-1$, $-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ y $\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

2. Damos el argumento geométrico. Al estar repartidos de forma perfectamente simétrica alrededor del origen, se compensan entre sí.

3. Damos el argumento algebraico. Las raíces son las soluciones de $z^{3} - 1 = 0$, y en ese polinomio el coeficiente de $z^{2}$ es cero.

4. Aplicamos la relación entre raíces y coeficientes. La suma de las raíces es el opuesto de ese coeficiente dividido por el principal, o sea cero.

5. Concluimos. La suma vale cero, y el mismo argumento vale para cualquier índice.

Respuesta: la suma vale $0$

2. Vemos qué pasa con $n$ primo. Si $n$ es primo, sus únicos divisores son $1$ y él mismo. Cualquier $k$ entre $1$ y $n-1$ no puede compartir divisores con $n$.

3. Lo miramos en las quintas. Los argumentos son $0^\circ$, $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$ y $288^\circ$, o sea $k$ valiendo $0$, $1$, $2$, $3$ y $4$.

4. Descartamos el caso $k = 0$. Esa raíz es el $1$, y todas sus potencias valen $1$: no genera nada.

5. Concluimos con las otras cuatro. Para $k$ igual a $1$, $2$, $3$ y $4$ no hay divisor común con $5$, así que las cuatro son primitivas.

6. Contrastamos con un índice compuesto. Con $n = 6$ eso falla: $k = 2$ comparte el divisor $2$, y la raíz de $120^\circ$ no es primitiva.

Respuesta: porque un primo no comparte divisores con ningún $k$ menor que él; entre las quintas, las cuatro distintas de $1$ son primitivas