Raíces de la unidad

Las raíces de la unidad son las soluciones de la ecuación que iguala una potencia de la incógnita a uno. Son el caso particular más importante de las raíces de un complejo.

Como el módulo de uno es uno, todas las raíces tienen módulo uno y están sobre la circunferencia unitaria.

Sus argumentos están espaciados uniformemente arrancando desde cero, así que forman un polígono regular inscripto con un vértice en el uno.

Para la raíz cuadrada salen uno y menos uno. Para la cúbica sale uno y dos complejos que completan un triángulo equilátero. Para la cuarta salen uno, menos uno, y los dos imaginarios puros.

Una propiedad importante es que la suma de todas las raíces de la unidad de un índice mayor que uno da cero. Geométricamente es evidente: los vectores están distribuidos parejo y se cancelan.

También son útiles para hallar las raíces de cualquier complejo: alcanza con encontrar una y multiplicarla por todas las raíces de la unidad.

argumentos:

360^{\circ}k / n

Cuándo se usa

Cuando la ecuación iguala una potencia de la incógnita a uno, o cuando ya tenés una raíz de un complejo y querés las demás. Recordá que suman cero: sirve como chequeo.

Ejemplo 1

Hallar las cuatro raíces cuartas de la unidad.

Escribimos módulo y argumentos. El módulo es $1$ y los argumentos son $360^{\circ}k / 4$ con $k = 0, 1, 2, 3$ .
Calculamos los cuatro ángulos. $0^{\circ}$ , $90^{\circ}$ , $180^{\circ}$ y $270^{\circ}$ .
Escribimos las raíces. $1$ , $i$ , $-1$ y $-i$ . Forman un cuadrado y suman cero.
Respuesta: $1, i, -1, -i$

Ejemplo 2

Verificar que las tres raíces cúbicas de la unidad suman cero.

Escribimos las tres. Con argumentos $0^{\circ}$ , $120^{\circ}$ y $240^{\circ}$ son $1$ , $-1/2 + (\sqrt{3}/2) i$ y $-1/2 - (\sqrt{3}/2) i$ .
Sumamos las partes reales. $1 - 1/2 - 1/2 = 0$ .
Sumamos las imaginarias. Las dos raíces complejas son conjugadas, así que sus partes imaginarias se cancelan. La suma total es $0$ .
Respuesta: suman $0$

Error típico

Olvidarse de que el $1$ siempre es una de las raíces. Cualquiera sea n, con $k = 0$ el argumento da $0^{\circ} y$ la raíz es el propio $1$ .

Practicar

← Raíces n-ésimas Regiones del plano complejo →

Otros subtemas de Números complejos y polinomios

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .