Producto y cociente en polar

En forma polar el producto se calcula multiplicando los módulos y sumando los argumentos. El cociente divide los módulos y resta los argumentos.

Eso es mucho más simple que en forma binómica, donde hay que distribuir y acomodar la unidad imaginaria al cuadrado.

La interpretación geométrica es interesante: multiplicar por un complejo equivale a rotar y escalar a la vez. El argumento del multiplicador dice cuánto rota y su módulo cuánto escala.

Multiplicar por un complejo de módulo uno es una rotación pura, sin cambio de tamaño. Y multiplicar por la unidad imaginaria rota un cuarto de vuelta.

Al sumar o restar argumentos pueden quedar valores fuera del rango principal. En ese caso se suma o resta una vuelta completa para volver al rango, sin que el complejo cambie.

Para sumar complejos la forma polar no sirve: hay que volver a binómica. Cada forma es cómoda para operaciones distintas, y conviene tener las conversiones a mano.

r_{1} r_{2} (\cos(\theta _{1} + \theta _{2}) + i \operatorname{sen}(\theta _{1} + \theta _{2}))

Cuándo se usa

Cuando hay que multiplicar o dividir complejos, sobre todo si después viene una potencia. Si además hay que sumar, pasá a binómica para esa parte.

Ejemplo 1

Multiplicar $2(\cos 30^{\circ} + i \operatorname{sen} 30^{\circ})$ por $3(\cos 60^{\circ} + i \operatorname{sen} 60^{\circ})$ .

Multiplicamos los módulos. $2 \cdot 3 = 6$ .
Sumamos los argumentos. $30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$ .
Escribimos el resultado. $6(\cos 90^{\circ} + i \operatorname{sen} 90^{\circ})$ , que en binómica es $6i$ , porque $\cos 90^{\circ} = 0$ y $\operatorname{sen} 90^{\circ} = 1$ .
Respuesta: $6i$

Ejemplo 2

Dividir $8(\cos 100^{\circ} + i \operatorname{sen} 100^{\circ})$ por $4(\cos 40^{\circ} + i \operatorname{sen} 40^{\circ})$ .

Dividimos los módulos. $8 / 4 = 2$ .
Restamos los argumentos. $100^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}$ .
Escribimos el resultado. $2(\cos 60^{\circ} + i \operatorname{sen} 60^{\circ})$ , que en binómica es $1 + \sqrt{3} i$ .
Respuesta: $2(\cos 60^{\circ} + i \operatorname{sen} 60^{\circ})$

Error típico

Sumar los módulos junto con los argumentos. Los módulos se multiplican: son longitudes, y estirar dos veces y después tres da seis, no cinco.

Practicar

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Otros subtemas de Números complejos y polinomios

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