Método

Operaciones y conjugado

La suma y la resta de complejos se hacen parte por parte, igual que con vectores del plano.

La multiplicación se hace distribuyendo como con binomios, con una sola regla extra: cuando aparece la unidad imaginaria al cuadrado, se reemplaza por menos uno.

El conjugado de un complejo es el mismo número con la parte imaginaria cambiada de signo. Es la herramienta que resuelve las divisiones.

Lo que lo hace útil es que multiplicar un complejo por su conjugado da siempre un número real: la suma de los cuadrados de las dos partes.

Para dividir se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador. Con eso el denominador queda real y la división se convierte en dividir por un número común.

Esa es la misma idea de racionalizar que se usa con raíces, aplicada acá para sacar la unidad imaginaria del denominador.

El conjugado tiene propiedades cómodas: el de una suma es la suma de los conjugados, y lo mismo con el producto.

conjugado de a+a + bi =a−= a - bi
Cuándo se usa

Cuando hay que dividir complejos: multiplicá arriba y abajo por el conjugado del denominador. También cuando aparece la unidad imaginaria al cuadrado en un producto, que se reemplaza por menos uno.

Ejemplo 1

Calcular (3+2i)(1−4i)(3 + 2i)(1 - 4i).

Distribuimos. 3−12i+2i−8i23 - 12i + 2i - 8i^{2}.
Reemplazamos i2i^{2}. −8i2=−8⋅(−1)=8-8i^{2} = -8 \cdot (-1) = 8.
Agrupamos. Reales: 3+8=113 + 8 = 11. Imaginarias: −12i+2i=−10i-12i + 2i = -10i. Queda 11−10i11 - 10i.
Respuesta: 11−10i11 - 10i

Ejemplo 2

Calcular (3+2i)/(1−4i)(3 + 2i) / (1 - 4i).

Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del denominador. El conjugado de 1−4i1 - 4i es 1+4i1 + 4i.
Resolvemos el denominador. (1−4i)(1+4i)=1+16=17(1 - 4i)(1 + 4i) = 1 + 16 = 17, que es real.
Resolvemos el numerador. (3+2i)(1+4i)=3+12i+2i−8=−5+14i(3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i + 2i - 8 = -5 + 14i. El resultado es (−5+14i)/17(-5 + 14i) / 17.
Respuesta: (−5+14i)/17(-5 + 14i) / 17

Error típico

Olvidar reemplazar i2i^{2} al final del producto. Si en el resultado queda un término con i2i^{2}, la cuenta está sin terminar: ese término es real y cambia de signo.

Practicar

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