Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una raíz compleja.

Aplicándolo repetidamente sale un resultado más fuerte: un polinomio de grado tanto tiene exactamente esa cantidad de raíces complejas, contadas con su multiplicidad.

Eso significa que sobre los complejos todo polinomio se factoriza completamente en factores de grado uno. No queda nada sin descomponer.

Es un contraste fuerte con los reales, donde hay polinomios que no tienen ninguna raíz. Esa es una de las razones por las que los complejos son tan importantes.

El teorema garantiza que las raíces existen pero no dice cómo encontrarlas. De hecho, para grados cinco y superiores está demostrado que no hay ninguna fórmula general con radicales.

Por eso en la práctica se recurre a buscar raíces racionales, factorizar por partes, o usar métodos numéricos cuando hace falta un valor aproximado.

grado

n \to n

raíces en los complejos

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pregunta cuántas raíces tiene un polinomio: sobre los complejos son exactamente tantas como el grado. Sobre los reales pueden ser menos.

Ejemplo 1

Indicar las raíces de $P(x) = (x - 1)^{2}(x + 3)$ con su multiplicidad.

Leemos el grado. Es $3$ , porque el primer factor entra dos veces y el segundo una.
Identificamos las raíces. $x = 1$ del primer factor y $x = -3$ del segundo.
Contamos con multiplicidad. La raíz $1$ es doble y la $-3$ simple: en total tres, igual que el grado.
Respuesta: $1$ doble y $-3$ simple

Ejemplo 2

Hallar todas las raíces de $x^{2} + 1$ .

Miramos en los reales. Ningún real al cuadrado da $-1$ , así que no hay raíces reales.
Pasamos a los complejos. $x^{2} = -1$ tiene dos soluciones: $i$ y $-i$ .
Verificamos el teorema. El grado es $2$ y hay dos raíces complejas, como tiene que ser.
Respuesta: $i$ y $-i$

Error típico

Contar las raíces sin la multiplicidad. En $(x - 1)^{2}(x + 3)$ hay dos raíces distintas pero tres contando repeticiones, que es lo que pide el teorema para igualar el grado.

Practicar

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