Módulo y plano complejo

Todo complejo se puede representar como un punto del plano, poniendo la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical. Ese plano se llama plano complejo.

Esa representación conecta los complejos con la geometría del primer volumen: sumar complejos es sumar vectores, y las mismas ideas de módulo y ángulo se aplican.

El módulo de un complejo es su distancia al origen, y se calcula con Pitágoras: la raíz de la suma de los cuadrados de las dos partes.

Es siempre un número real no negativo, y vale cero solo para el complejo nulo.

El módulo se lleva bien con el producto: el módulo de un producto es el producto de los módulos, y lo mismo con el cociente. Con la suma no vale la igualdad, solo la desigualdad triangular.

Un complejo y su conjugado tienen el mismo módulo, porque son simétricos respecto del eje horizontal.

La distancia entre dos complejos es el módulo de su diferencia, igual que con puntos del plano.

|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide el módulo, la distancia entre complejos, o representar en el plano. El módulo de un producto sale más fácil multiplicando los módulos que haciendo el producto primero.

Ejemplo 1

Calcular el módulo de $z = 3 + 4i$ .

Identificamos las dos partes. Real $3$ e imaginaria $4$ .
Aplicamos la fórmula. $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$ .
Resolvemos. $|z| = 5$ . Se puede verificar con el conjugado: $(3 + 4i)(3 - 4i) = 25$ , que es el módulo al cuadrado.
Respuesta: $|z| = 5$

Ejemplo 2

Calcular el módulo y el argumento de $z = 1 + i$ .

Calculamos el módulo. $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ .
Calculamos el argumento con la tangente. La tangente del ángulo es $1 / 1 = 1$ .
Elegimos el ángulo del cuadrante correcto. Las dos partes son positivas, así que está en el primer cuadrante: $\theta = 45^{\circ}$ .
Respuesta: $|z| = \sqrt{2}$ y $\theta = 45^{\circ}$

Error típico

Calcular el módulo sumando las partes en lugar de elevarlas al cuadrado. Con $3 + 4i$ el módulo es $5 y$ no $7$ . Es el mismo error que aparecía con el módulo de un vector.

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