Teorema del resto y del factor

El teorema del resto dice que el resto de dividir un polinomio por la variable menos un número es simplemente el valor del polinomio en ese número.

Eso permite calcular un resto sin hacer la división: alcanza con evaluar, que es muchísimo más rápido.

El teorema del factor es la consecuencia más importante. Si al evaluar da cero, el resto es cero, y eso significa que la división es exacta.

Entonces un número es raíz del polinomio si y solo si la variable menos ese número es un factor. Raíces y factores son dos formas de decir lo mismo.

Esa equivalencia es la que conecta el problema de resolver ecuaciones con el de factorizar polinomios, y es el eje de todo lo que queda del volumen.

En la práctica se usa así: se buscan raíces evaluando, y cada vez que una da cero se divide por Ruffini para bajar el grado. Con el cociente se repite el procedimiento hasta factorizar del todo.

resto

= P(a)

Cuándo se usa

Cuando hay que calcular un resto sin dividir, o verificar si un número es raíz. Evaluá: si da cero, ese número es raíz y la variable menos ese número es factor.

Ejemplo 1

Hallar el resto de dividir $P(x) = x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6$ por $x - 2$ sin dividir.

Identificamos el valor a reemplazar. El divisor es $x - 2$ , así que $a = 2$ .
Calculamos $P(2)$ . $8 - 8 + 6 - 6 = 0$ .
Concluimos. El resto es $0$ , así que $2$ es raíz y $x - 2$ es factor del polinomio.
Respuesta: el resto es $0$

Ejemplo 2

Decidir si $x + 1$ es factor de $P(x) = x^{3} + 2x^{2} - x - 2$ .

Leemos el valor. $x + 1$ es $x + 1$ , así que $a = -1$ .
Calculamos $P(-1)$ . $-1 + 2 + 1 - 2 = 0$ .
Concluimos. Da cero, así que $x + 1$ sí es factor y $-1$ es raíz.
Respuesta: sí, es factor

Error típico

Reemplazar el valor con el signo cambiado. Para dividir por $x + 3$ el resto es $P(-3)$ , no $P(3)$ . Es el mismo cuidado que en Ruffini.

Practicar

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