Raíces complejas conjugadas

Cuando un polinomio tiene todos sus coeficientes reales, sus raíces complejas vienen siempre de a pares conjugados.

Si un complejo es raíz, su conjugado también lo es, con la misma multiplicidad. Nunca aparece una raíz compleja sola.

Eso tiene una consecuencia inmediata: un polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Como las complejas van de a pares, no pueden completar una cantidad impar.

Otra consecuencia práctica es que si el enunciado da una raíz compleja, ya se tienen dos, y eso permite bajar el grado en dos de una sola vez.

Multiplicando los dos factores conjugados se obtiene un factor de grado dos con coeficientes reales y sin raíces reales. Dividiendo por él se baja el grado sin salir de los reales.

Por eso todo polinomio con coeficientes reales se factoriza sobre los reales en factores de grado uno y de grado dos irreducibles. No hace falta nada de grado mayor.

Si los coeficientes son complejos, esta propiedad no vale.

a +

bi es raíz,

a -

bi también

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da una raíz compleja de un polinomio con coeficientes reales: el conjugado también es raíz. Multiplicá los dos factores para obtener uno cuadrático real y dividí por él.

Ejemplo 1

Sabiendo que $2 + i$ es raíz de un polinomio de coeficientes reales, hallar otra raíz y un factor de grado dos.

Aplicamos la regla. El conjugado $2 - i$ también es raíz.
Escribimos los dos factores. $(x - 2 - i)(x - 2 + i)$ .
Los multiplicamos. Es una diferencia de cuadrados: $(x - 2)^{2} - i^{2} = x^{2} - 4x + 5$ , con coeficientes reales.
Respuesta: $2 - i$ y el factor $x^{2} - 4x + 5$

Ejemplo 2

Justificar que $x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6$ tiene al menos una raíz real.

Miramos el grado y los coeficientes. Grado $3$ , impar, y todos los coeficientes son reales.
Contamos las complejas. Si las hubiera, vendrían de a pares, así que serían dos como mucho.
Concluimos. Queda al menos un lugar sin llenar, y esa raíz tiene que ser real. En efecto es $2$ , como vimos al factorizarlo.
Respuesta: por ser de grado impar

Error típico

Aplicar la regla a polinomios con coeficientes complejos. Ahí no vale: $x - i$ tiene a i como única raíz, y su conjugado no es raíz de nada.

Practicar

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