Ejercicios: Raíces complejas conjugadas

2. Escribimos la otra raíz. El conjugado es $2 - 2i$, que también es raíz.

3. Armamos el factor. $(x - (2 + 2i))(x - (2 - 2i))$

4. Desarrollamos. $= (x-2)^2 + 4 = x^2 - 4x + 8$

5. Verificamos. Los coeficientes quedaron reales, que es justamente lo que garantiza la propiedad.

Respuesta: la otra raíz es $2 - 2i$, y el factor es $x^2 - 4x + 8$

2. Conjugamos la igualdad. Aplicamos conjugado a los dos lados: $\overline{p(z)} = \bar{0} = 0$.

3. Usamos las propiedades del conjugado. El conjugado de una suma es la suma de los conjugados, y lo mismo con productos.

4. Usamos que los coeficientes son reales. Cada coeficiente es igual a su propio conjugado, así que al distribuir queda $p(\bar{z}) = 0$.

5. Concluimos. El conjugado también es raíz. La hipótesis de coeficientes reales es esencial: sin ella la propiedad no vale.

Respuesta: porque al conjugar la igualdad $p(z) = 0$ se obtiene $p(\bar{z}) = 0$

2. Contamos. Ya tenemos dos raíces, y el dato dice que la tercera es $2$.

3. Verificamos el conteo. El grado es $3$ y tenemos tres raíces: es coherente.

4. Escribimos la factorización. $p(x) = a(x - 2)(x - (1+i))(x - (1-i))$, con $a$ el coeficiente principal.

5. Simplificamos el par conjugado. $(x-(1+i))(x-(1-i)) = x^2 - 2x + 2$, con coeficientes reales.

Respuesta: las otras raíces son $1 - i$ y $2$

2. Contamos. Si vienen de a pares, la cantidad total de raíces no reales tiene que ser par.

3. Comparamos. Tres es impar.

4. Concluimos. No es posible: la cantidad de raíces no reales siempre es par.

5. Aclaramos la hipótesis. Esto vale solo si los coeficientes son reales. Con coeficientes complejos no hay ninguna restricción de este tipo.

Respuesta: no puede: la cantidad de raíces no reales siempre es par

2. Escribimos la otra raíz. El conjugado es $2 - 3i$, que también es raíz.

3. Armamos el factor. $(x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i))$

4. Desarrollamos. $= (x-2)^2 + 9 = x^2 - 4x + 13$

5. Verificamos. Los coeficientes quedaron reales, que es justamente lo que garantiza la propiedad.

Respuesta: la otra raíz es $2 - 3i$, y el factor es $x^2 - 4x + 13$

2. Desarrollamos el producto. $(x - z)(x - \bar{z}) = x^2 - (z + \bar{z})x + z\bar{z}$

3. Calculamos la suma. $z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a$, que es real.

4. Calculamos el producto. $z\bar{z} = a^2 + b^2$, que también es real y además es $|z|^2$.

5. Escribimos el resultado. $(x - z)(x - \bar{z}) = x^2 - 2ax + (a^2 + b^2)$, con los tres coeficientes reales.

6. Sacamos la consecuencia. Por eso todo polinomio con coeficientes reales se factoriza en factores reales de grado $1$ y de grado $2$: cada par conjugado se junta en un factor cuadrático.

Respuesta: queda demostrado: el producto es $x^2 - 2ax + (a^2+b^2)$, donde $2a$ es la suma de los conjugados y $a^2+b^2$ su producto

2. Contamos. Con la tercera, que el dato dice que es $-1$, quedan tres raíces para un polinomio de grado $3$.

3. Escribimos la factorización. $p(x) = a(x + 1)(x - (2-3i))(x - (2+3i))$

4. Multiplicamos el par conjugado. La suma de los conjugados es $4$ y el producto es $2^2 + 3^2 = 13$, así que el factor es $x^2 - 4x + 13$.

5. Armamos el polinomio real. $p(x) = a(x + 1)(x^2 - 4x + 13)$, con todos los coeficientes reales.

6. Verificamos el discriminante. $x^2 - 4x + 13$ tiene discriminante $16 - 52 = -36$, negativo: confirma que sus raíces son el par conjugado y no dos reales.

Respuesta: las otras raíces son $2 + 3i$ y $-1$

2. Vemos si el reparto cierra. Si ninguna fuera real, las cuatro serían no reales. Como vienen de a pares conjugados, harían falta dos pares: cuatro es par, así que no hay contradicción.

3. Construimos un ejemplo. $p(x) = (x^2 + 1)(x^2 + 4) = x^4 + 5x^2 + 4$, con coeficientes reales.

4. Buscamos sus raíces. $x^2 = -1$ da $i$ y $-i$; $x^2 = -4$ da $2i$ y $-2i$. Las cuatro son no reales.

5. Verificamos que no corte el eje. Para todo $x$ real, $x^4 + 5x^2 + 4$ es suma de términos no negativos más $4$, así que nunca vale cero.

6. Contrastamos con el grado impar. Con grado $3$ esto sería imposible: el total sería impar y no se podría repartir todo en pares.

Respuesta: sí puede: por ejemplo $p(x) = x^4 + 5x^2 + 4$, cuyas cuatro raíces son $i$, $-i$, $2i$ y $-2i$

2. Escribimos la otra raíz. El conjugado es $2 - i$, que también es raíz.

3. Armamos el factor. $(x - (2 + i))(x - (2 - i))$

4. Desarrollamos. $= (x-2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5$

5. Verificamos. Los coeficientes quedaron reales, que es justamente lo que garantiza la propiedad.

Respuesta: la otra raíz es $2 - i$, y el factor es $x^2 - 4x + 5$

2. Usamos la propiedad de los conjugados. Como los coeficientes son reales, cada raíz no real viene acompañada por su conjugada, que también es no real.

3. Contamos las no reales. Al venir de a pares, la cantidad de raíces no reales es par.

4. Restamos. Las raíces reales son el total menos las no reales: impar menos par, que da impar.

5. Concluimos. Un número impar no puede ser cero, así que hay al menos una raíz real.

6. Damos el ejemplo mínimo. $x^3 - 1$ tiene una sola raíz real, $x = 1$, y las otras dos son un par conjugado. Menos de una no puede tener.

Respuesta: porque las no reales se cuentan de a pares, así que restadas de un total impar dejan una cantidad impar de raíces reales, que no puede ser cero

2. Aplicamos la propiedad a la segunda. Como $3 + i$ es raíz, $3 - i$ también lo es.

3. Contamos. Quedan cuatro raíces, dos pares conjugados, para un polinomio de grado $4$: no falta ninguna.

4. Armamos el primer factor cuadrático. $(x - i)(x + i) = x^2 + 1$

5. Armamos el segundo. La suma de $3+i$ y $3-i$ es $6$ y el producto es $3^2 + 1^2 = 10$, así que el factor es $x^2 - 6x + 10$.

6. Concluimos. $p(x) = a(x^2 + 1)(x^2 - 6x + 10)$, y este polinomio no tiene ninguna raíz real.

Respuesta: las otras raíces son $-i$ y $3 - i$

2. Recordamos la propiedad completa. La conjugación no solo hace que el conjugado sea raíz: repite el mismo razonamiento sobre la factorización, así que las multiplicidades de $z$ y $\bar{z}$ coinciden.

3. Lo vemos con el conjugado del polinomio. Conjugar todos los coeficientes de $p$ lo deja igual, porque son reales. Pero conjugar su factorización intercambia $2+i$ con $2-i$ y sus multiplicidades.

4. Sacamos la contradicción. Si al intercambiarlas el polinomio queda igual, las multiplicidades tienen que ser la misma: no pueden ser $2$ y $1$.

5. Concluimos. No es posible. Un par conjugado aparece siempre con la misma multiplicidad.

6. Damos el caso que sí sirve. Con $2+i$ y $2-i$ los dos dobles no hay problema: el polinomio es $(x^2 - 4x + 5)^2$, de grado $4$ y con coeficientes reales.

Respuesta: no puede: las raíces conjugadas de un polinomio real tienen siempre la misma multiplicidad