Ejercicios: Raíces racionales

2. Identificamos los dos coeficientes. El término independiente es $-6$ y el coeficiente principal es $1$.

3. Listamos los divisores. Como el coeficiente principal es $1$, los candidatos son los divisores enteros de $-6$, con los dos signos.

4. Escribimos los candidatos. $\pm 1$ y los demás divisores de $6$.

5. Vemos para qué sirve. El teorema no dice cuáles son raíces, solo acota la búsqueda a una lista finita. Después hay que probar cada candidato.

Respuesta: los candidatos son los divisores de $-6$, con los dos signos

2. Probamos el primero. $p(1) = 2$

3. Probamos otros. $p(2) = 0$

4. Encontramos la raíz. El polinomio se anula en $2$, así que $2$ es raíz.

5. Aprovechamos el hallazgo. Con esa raíz podemos dividir por $(x - 2)$ y bajar el grado del problema.

Respuesta: $2$ es raíz de $p(x)$

2. Los probamos. $p(1) = -1$, $p(-1) = -1$, $p(2) = 2$, $p(-2) = 2$. Ninguno da cero.

3. Concluimos. El polinomio no tiene raíces racionales.

4. Hallamos las raíces reales. $x = \pm\sqrt{2}$, que son irracionales.

5. Observamos. El teorema descarta raíces racionales, pero no dice nada sobre las irracionales. Que la lista falle no significa que no haya raíces.

Respuesta: no tiene raíces racionales: sus raíces son $\pm\sqrt{2}$, irracionales

2. Listamos los divisores del término independiente. $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$.

3. Listamos los divisores del coeficiente principal. $\pm 1$, $\pm 2$.

4. Armamos los cocientes. Los candidatos son todos los cocientes posibles: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$, $\pm\dfrac{1}{2}$ y $\pm\dfrac{3}{2}$.

5. Observamos. Cuando el coeficiente principal no es $1$ aparecen candidatos fraccionarios. Olvidarlos es un error frecuente.

Respuesta: los candidatos son $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$, $\pm\dfrac{1}{2}$ y $\pm\dfrac{3}{2}$

2. Identificamos los dos coeficientes. El término independiente es $4$ y el coeficiente principal es $1$.

3. Listamos los divisores. Como el coeficiente principal es $1$, los candidatos son los divisores enteros de $4$, con los dos signos.

4. Escribimos los candidatos. $\pm 1$ y los demás divisores de $4$.

5. Vemos para qué sirve. El teorema no dice cuáles son raíces, solo acota la búsqueda a una lista finita. Después hay que probar cada candidato.

Respuesta: los candidatos son los divisores de $4$, con los dos signos

2. Probamos el primero. $p(1) = -6$

3. Probamos otros. $p(-1) = 0$

4. Encontramos la raíz. El polinomio se anula en $-1$, así que $-1$ es raíz.

5. Aprovechamos el hallazgo. Con esa raíz podemos dividir por $(x + 1)$ y bajar el grado del problema.

Respuesta: $-1$ es raíz de $p(x)$

2. Los probamos. $p(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ y $p(-1) = 1 + 1 - 1 = 1$. Ninguno da cero.

3. Concluimos. No tiene raíces racionales.

4. Hallamos las raíces reales. Por la fórmula resolvente, $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$, las dos irracionales.

5. Observamos. La lista de candidatos era cortísima, apenas dos números, y aun así el polinomio tiene dos raíces reales. La cantidad de candidatos no dice nada sobre la cantidad de raíces.

6. Damos el dato. La raíz positiva de este polinomio es el número de oro, uno de los irracionales más conocidos.

Respuesta: no tiene raíces racionales: sus raíces son $\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$, irracionales

2. Listamos los divisores del término independiente. $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$.

3. Listamos los divisores del coeficiente principal. $\pm 1$, $\pm 3$.

4. Armamos los cocientes. Dividiendo cada divisor de $-4$ por cada divisor de $3$ quedan $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm\dfrac{1}{3}$, $\pm\dfrac{2}{3}$ y $\pm\dfrac{4}{3}$.

5. Buscamos cuál sirve. Probando los enteros primero, $p(1) = 3 + 1 - 4 = 0$: $x = 1$ es raíz.

6. Observamos. Conviene probar los enteros antes que los fraccionarios: son menos y suelen ser los que aparecen en los ejercicios armados.

Respuesta: los candidatos son $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm\dfrac{1}{3}$, $\pm\dfrac{2}{3}$ y $\pm\dfrac{4}{3}$, y $x = 1$ es raíz

2. Identificamos los dos coeficientes. El término independiente es $-6$ y el coeficiente principal es $1$.

3. Listamos los divisores. Como el coeficiente principal es $1$, los candidatos son los divisores enteros de $-6$, con los dos signos.

4. Escribimos los candidatos. $\pm 1$ y los demás divisores de $6$.

5. Vemos para qué sirve. El teorema no dice cuáles son raíces, solo acota la búsqueda a una lista finita. Después hay que probar cada candidato.

Respuesta: los candidatos son los divisores de $-6$, con los dos signos

2. Probamos el primero. $p(1) = 4$

3. Probamos otros. $p(2) = 0$

4. Encontramos la raíz. El polinomio se anula en $2$, así que $2$ es raíz.

5. Aprovechamos el hallazgo. Con esa raíz podemos dividir por $(x - 2)$ y bajar el grado del problema.

Respuesta: $2$ es raíz de $p(x)$

2. Probamos los enteros. $p(1) = -1$, $p(-1) = -1$, $p(3) = 15$, $p(-3) = 15$. Ninguno da cero.

3. Probamos los fraccionarios. $p\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{5}{2}$ y $p\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{3}{2}$, y con los negativos pasa lo mismo porque el polinomio es par.

4. Concluimos. No tiene raíces racionales.

5. Hallamos las raíces reales. $x^2 = \dfrac{3}{2}$, así que $x = \pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$, irracionales.

6. Señalamos el error típico. Acá el coeficiente principal no es $1$, así que había que probar también los fraccionarios. Saltearlos es el error más frecuente del tema.

Respuesta: no tiene raíces racionales: sus raíces son $\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$, irracionales

2. Listamos los divisores del término independiente. $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$.

3. Listamos los divisores del coeficiente principal. Solo $\pm 1$.

4. Armamos los cocientes. Como se divide por $\pm 1$, los candidatos coinciden con los divisores de $4$: $\pm 1$, $\pm 2$ y $\pm 4$. No hay fraccionarios.

5. Verificamos cuáles son raíces. $p(1) = 1 - 5 + 4 = 0$ y $p(2) = 16 - 20 + 4 = 0$. Por ser par el polinomio, $-1$ y $-2$ también lo son: son las cuatro raíces.

6. Comparamos. En un polinomio mónico toda raíz racional es entera y divide al término independiente. Recién cuando el principal no es $1$ hay que buscar fracciones.

Respuesta: los candidatos son $\pm 1$, $\pm 2$ y $\pm 4$, y las cuatro raíces son $1$, $-1$, $2$ y $-2$