Raíces racionales

El teorema de las raíces racionales acota la búsqueda cuando el polinomio tiene coeficientes enteros.

Dice que si hay una raíz racional, su numerador divide al término independiente y su denominador divide al coeficiente principal.

Eso convierte una búsqueda infinita en una lista finita de candidatos, que se prueban uno por uno evaluando.

Cuando el polinomio es mónico la lista se acorta mucho: los candidatos son directamente los divisores del término independiente, con los dos signos.

Es importante entender el alcance del teorema. No garantiza que haya raíces racionales: solo dice que si las hay, están en esa lista. Muchos polinomios no tienen ninguna.

Y tampoco encuentra las irracionales ni las complejas. Para esas hay que recurrir a la resolvente después de bajar el grado, o a métodos numéricos.

En los ejercicios de parcial casi siempre hay al menos una raíz racional, porque están armados para que se puedan factorizar a mano.

candidatas: divisores de

a_{0}

sobre divisores de

a_{n}

Cuándo se usa

Cuando hay que factorizar un polinomio de grado tres o más con coeficientes enteros. Armá la lista de candidatos con los divisores del término independiente y del principal, y probá evaluando.

Ejemplo 1

Hallar las raíces racionales de $P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 3x + 2$ .

Armamos la lista de candidatas. Divisores de $2$ sobre divisores de $2$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 1/2$ .
Probamos las más simples. $P(1) = 2 - 3 - 3 + 2 = -2$ , no sirve. $P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0$ : es raíz.
Dividimos y resolvemos lo que queda. Con Ruffini el cociente es $2x^{2} - 5x + 2$ , cuyas raíces son $2$ y $1/2$ . Las tres raíces son $-1$ , $2$ y $1/2$ .
Respuesta: $-1$ , $2$ y $1/2$

Ejemplo 2

Hallar las candidatas de $x^{3} - 4x + 1$ y decidir si alguna es raíz.

Armamos la lista. El coeficiente principal es $1$ , así que las candidatas son los divisores de $1$ : $1$ y $-1$ .
Las probamos. $P(1) = 1 - 4 + 1 = -2$ y $P(-1) = -1 + 4 + 1 = 4$ .
Concluimos. Ninguna da cero, así que el polinomio no tiene raíces racionales. Tiene tres raíces por el teorema fundamental, pero son irracionales.
Respuesta: no tiene raíces racionales

Error típico

Armar la lista solo con los divisores del término independiente cuando el coeficiente principal no es $1$ . Ahí faltan las candidatas fraccionarias, y muchas veces la raíz es justamente una de esas.

Practicar

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