Regiones del plano complejo

Muchos ejercicios piden graficar el conjunto de complejos que cumplen cierta condición. La clave es traducir esa condición a geometría del plano.

El módulo de una diferencia es la distancia entre dos puntos. Entonces la condición de que ese módulo valga una constante describe una circunferencia centrada en el punto que se resta.

Si en vez de una igualdad hay una desigualdad, el conjunto es el interior o el exterior de esa circunferencia. Conviene marcar con línea llena el borde si está incluido y punteada si no.

Las condiciones sobre la parte real o la imaginaria dan semiplanos delimitados por rectas verticales u horizontales.

Las condiciones sobre el argumento dan semirrectas que salen del origen, o sectores angulares si el argumento está entre dos valores.

Cuando hay varias condiciones a la vez, el conjunto es la intersección de todas. Conviene dibujar cada una por separado y después quedarse con lo común.

La condición de que dos distancias sean iguales describe la mediatriz del segmento que une los dos puntos.

|z - z_{0}| = r

es la circunferencia de centro

z_{0} y

radio r

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide graficar un conjunto de complejos. Traducí cada condición a geometría: módulo de diferencia es distancia, parte real es coordenada horizontal, argumento es ángulo.

Ejemplo 1

Describir la región $|z - 1| \leq 2$ .

Traducimos el módulo a una distancia. Es la distancia entre $z$ y el punto $1$ .
Leemos la condición. Pide que esa distancia sea menor o igual que $2$ .
Nombramos la figura. Es el disco de centro $1$ y radio $2$ , con el borde incluido porque la desigualdad no es estricta.
Respuesta: el disco de centro $1$ y radio $2$

Ejemplo 2

Describir la región $|z| = 3$ y decidir si $3i$ pertenece.

Traducimos. Son los puntos a distancia $3$ del origen: la circunferencia de radio $3$ .
Calculamos el módulo del punto. $|3i| = 3$ .
Concluimos. Cumple la condición, así que $3i$ pertenece: está justo arriba, sobre el eje imaginario.
Respuesta: la circunferencia de radio $3$ , y sí pertenece

Error típico

Leer $|z - 1|$ como si el centro fuera $-1$ . El número que se resta es el centro: en $|z - z_{0}|$ el centro es $z_{0}$ , con el signo que quedó adentro después de la resta.

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