Ejercicios: Regiones del plano complejo

|z - z_{0}| = r

es la circunferencia de centro

z_{0} y

radio r

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Describí y graficá el conjunto de los complejos que cumplen $|z| = 2$ .

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1. Traducimos la condición. $|z|$ es la distancia de $z$ al origen, así que la condición pide que esa distancia valga $2$ .

2. Identificamos la figura. Todos los puntos a distancia $2$ del origen forman una circunferencia.

3. Escribimos el resultado. Es la circunferencia de centro en el origen y radio $2$ .

4. Verificamos con un punto. El complejo $2$ está en el conjunto, y también $2i$ : los dos están a distancia $2$ .

5. Observamos. Con desigualdad en vez de igualdad el conjunto sería un disco: el interior lleno en vez de solo el borde.

Respuesta: es la circunferencia de centro en el origen y radio $2$

2. Describí el conjunto de los complejos que cumplen $|z - (3 + 2i)| \leq 1$ .

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1. Interpretamos la resta. $|z - z_0|$ es la distancia entre $z$ y el punto $z_0 = 3 + 2i$ .

2. Traducimos la desigualdad. La condición pide que esa distancia no supere a $1$ .

3. Identificamos la figura. Son todos los puntos que están a distancia menor o igual que $1$ del punto $(3; 2)$ .

4. Escribimos el resultado. Es el disco cerrado de centro $(3; 2)$ y radio $1$ , incluyendo el borde.

5. Observamos. El menor o igual incluye la circunferencia. Con desigualdad estricta el borde quedaría afuera.

Respuesta: es el disco cerrado de centro $(3; 2)$ y radio $1$

3. Describí el conjunto de los complejos que cumplen $\operatorname{Re}(z) = -1$ .

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1. Escribimos $z$ en forma binómica. $z = x + yi$ , así que $\operatorname{Re}(z) = x$ .

2. Traducimos la condición. La condición dice $x = -1$ , sin ninguna restricción sobre $y$ .

3. Identificamos la figura. Todos los puntos con abscisa $-1$ y ordenada libre forman una recta vertical.

4. Escribimos el resultado. Es la recta vertical $x = -1$ .

5. Observamos. Si la condición fuera sobre la parte imaginaria, el conjunto sería una recta horizontal.

Respuesta: es la recta vertical $x = -1$

4. Describí el conjunto de los complejos que cumplen $1 < |z| < 6$ .

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1. Traducimos cada desigualdad. La primera pide que la distancia al origen supere a $1$ y la segunda que sea menor que $6$ .

2. Combinamos las dos. El punto tiene que estar afuera de la circunferencia de radio $1$ y adentro de la de radio $6$ .

3. Identificamos la figura. Es la región anular entre las dos circunferencias, o sea una corona.

4. Aclaramos los bordes. Las dos desigualdades son estrictas, así que ninguna de las dos circunferencias forma parte del conjunto.

5. Escribimos el resultado. Es la corona abierta de radios $1$ y $6$ centrada en el origen.

Respuesta: es la corona abierta entre las circunferencias de radios $1$ y $6$

5. Describí y graficá el conjunto de los complejos que cumplen $|z| = 4$ .

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1. Traducimos la condición. $|z|$ es la distancia de $z$ al origen, así que la condición pide que esa distancia valga $4$ .

2. Identificamos la figura. Todos los puntos a distancia $4$ del origen forman una circunferencia.

3. Escribimos el resultado. Es la circunferencia de centro en el origen y radio $4$ .

4. Verificamos con un punto. El complejo $4$ está en el conjunto, y también $4i$ : los dos están a distancia $4$ .

5. Observamos. Con desigualdad en vez de igualdad el conjunto sería un disco: el interior lleno en vez de solo el borde.

Respuesta: es la circunferencia de centro en el origen y radio $4$

6. Describí el conjunto de los complejos que cumplen $|z - (1 - 3i)| \leq 1$ .

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1. Interpretamos la resta. $|z - z_0|$ es la distancia entre $z$ y el punto $z_0 = 1 - 3i$ .

2. Traducimos la desigualdad. La condición pide que esa distancia no supere a $1$ .

3. Identificamos la figura. Son todos los puntos que están a distancia menor o igual que $1$ del punto $(1; -3)$ .

4. Escribimos el resultado. Es el disco cerrado de centro $(1; -3)$ y radio $1$ , incluyendo el borde.

5. Observamos. El menor o igual incluye la circunferencia. Con desigualdad estricta el borde quedaría afuera.

Respuesta: es el disco cerrado de centro $(1; -3)$ y radio $1$

7. Describí el conjunto de los complejos que cumplen $\operatorname{Re}(z) = -5$ .

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1. Escribimos $z$ en forma binómica. $z = x + yi$ , así que $\operatorname{Re}(z) = x$ .

2. Traducimos la condición. La condición dice $x = -5$ , sin ninguna restricción sobre $y$ .

3. Identificamos la figura. Todos los puntos con abscisa $-5$ y ordenada libre forman una recta vertical.

4. Escribimos el resultado. Es la recta vertical $x = -5$ .

5. Observamos. Si la condición fuera sobre la parte imaginaria, el conjunto sería una recta horizontal.

Respuesta: es la recta vertical $x = -5$

8. Describí el conjunto de los complejos que cumplen $2 < |z| < 5$ .

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1. Traducimos cada desigualdad. La primera pide que la distancia al origen supere a $2$ y la segunda que sea menor que $5$ .

2. Combinamos las dos. El punto tiene que estar afuera de la circunferencia de radio $2$ y adentro de la de radio $5$ .

3. Identificamos la figura. Es la región anular entre las dos circunferencias, o sea una corona.

4. Aclaramos los bordes. Las dos desigualdades son estrictas, así que ninguna de las dos circunferencias forma parte del conjunto.

5. Escribimos el resultado. Es la corona abierta de radios $2$ y $5$ centrada en el origen.

Respuesta: es la corona abierta entre las circunferencias de radios $2$ y $5$

9. Describí y graficá el conjunto de los complejos que cumplen $|z| = 5$ .

Ver solución

1. Traducimos la condición. $|z|$ es la distancia de $z$ al origen, así que la condición pide que esa distancia valga $5$ .

2. Identificamos la figura. Todos los puntos a distancia $5$ del origen forman una circunferencia.

3. Escribimos el resultado. Es la circunferencia de centro en el origen y radio $5$ .

4. Verificamos con un punto. El complejo $5$ está en el conjunto, y también $5i$ : los dos están a distancia $5$ .

5. Observamos. Con desigualdad en vez de igualdad el conjunto sería un disco: el interior lleno en vez de solo el borde.

Respuesta: es la circunferencia de centro en el origen y radio $5$

10. Describí el conjunto de los complejos que cumplen $|z - (2 + 3i)| \leq 4$ .

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1. Interpretamos la resta. $|z - z_0|$ es la distancia entre $z$ y el punto $z_0 = 2 + 3i$ .

2. Traducimos la desigualdad. La condición pide que esa distancia no supere a $4$ .

3. Identificamos la figura. Son todos los puntos que están a distancia menor o igual que $4$ del punto $(2; 3)$ .

4. Escribimos el resultado. Es el disco cerrado de centro $(2; 3)$ y radio $4$ , incluyendo el borde.

5. Observamos. El menor o igual incluye la circunferencia. Con desigualdad estricta el borde quedaría afuera.

Respuesta: es el disco cerrado de centro $(2; 3)$ y radio $4$

11. Describí el conjunto de los complejos que cumplen $\operatorname{Re}(z) = -4$ .

Ver solución

1. Escribimos $z$ en forma binómica. $z = x + yi$ , así que $\operatorname{Re}(z) = x$ .

2. Traducimos la condición. La condición dice $x = -4$ , sin ninguna restricción sobre $y$ .

3. Identificamos la figura. Todos los puntos con abscisa $-4$ y ordenada libre forman una recta vertical.

4. Escribimos el resultado. Es la recta vertical $x = -4$ .

5. Observamos. Si la condición fuera sobre la parte imaginaria, el conjunto sería una recta horizontal.

Respuesta: es la recta vertical $x = -4$

12. Describí el conjunto de los complejos que cumplen $3 < |z| < 6$ .

Ver solución

1. Traducimos cada desigualdad. La primera pide que la distancia al origen supere a $3$ y la segunda que sea menor que $6$ .

2. Combinamos las dos. El punto tiene que estar afuera de la circunferencia de radio $3$ y adentro de la de radio $6$ .

3. Identificamos la figura. Es la región anular entre las dos circunferencias, o sea una corona.

4. Aclaramos los bordes. Las dos desigualdades son estrictas, así que ninguna de las dos circunferencias forma parte del conjunto.

5. Escribimos el resultado. Es la corona abierta de radios $3$ y $6$ centrada en el origen.

Respuesta: es la corona abierta entre las circunferencias de radios $3$ y $6$

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