Ejercicios: Polinomios y sus operaciones

P(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Indicá el grado, el coeficiente principal y el término independiente de $p(x) = 3x^{4} + x^{1} + 1$ .

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1. Buscamos el grado. El grado es la potencia más alta que aparece con coeficiente no nulo: $4$ .

2. Identificamos el coeficiente principal. Es el que acompaña a la potencia más alta: $3$ .

3. Identificamos el término independiente. Es el término sin $x$ , o sea el valor del polinomio en cero.

4. Observamos. El grado determina cuántas raíces tiene el polinomio, contando multiplicidades. Por eso es el dato más importante.

Respuesta: el grado es $4$ y el coeficiente principal es $3$

2. Un polinomio de grado $3$ se multiplica por otro de grado $3$ . Indicá el grado del producto y el de la suma.

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1. Analizamos el producto. Al multiplicar, el término de mayor grado del resultado sale de multiplicar los dos términos principales.

2. Calculamos su grado. $3 + 3 = 6$ , así que el producto tiene grado $6$ .

3. Analizamos la suma. Al sumar, el grado es el mayor de los dos: $3$ .

4. Marcamos la excepción. Eso vale si los términos principales no se cancelan. Si tuvieran el mismo grado y coeficientes opuestos, el grado de la suma sería menor.

5. Concluimos. El producto tiene grado $6$ y la suma grado $3$ .

Respuesta: el producto tiene grado $6$ y la suma grado $3$

3. Calculá el producto $(3x - 1)(3x - 4)$ .

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1. Distribuimos. Se multiplica cada término del primer factor por cada término del segundo.

2. Hacemos los cuatro productos. $3x \cdot 3x = 9x^2$ , $3x \cdot (-4) = -12x$ , $(-1) \cdot 3x = -3x$ , $(-1) \cdot (-4) = 4$

3. Agrupamos los términos semejantes. Los dos términos con $x$ se suman: $-12 - 3 = -15$ .

4. Escribimos el resultado. $p(x) = 9 x^{2} - 15 x + 4$

5. Verificamos el grado. Los factores tenían grado $1$ cada uno, así que el producto tiene grado $2$ , como corresponde.

Respuesta: $p(x) = 9 x^{2} - 15 x + 4$

4. Evaluá el polinomio $p(x) = 3 x^{2} - x - 5$ en $x = 1$ .

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1. Entendemos qué significa evaluar. Evaluar es reemplazar la variable por el número y hacer las cuentas.

2. Reemplazamos. $p(1) = -3$

3. Damos el resultado. $p(1) = -3$

4. Vemos para qué sirve. Si el resultado hubiera dado cero, $1$ sería raíz del polinomio. Acá no lo es.

5. Anticipamos. Evaluar es la base del teorema del resto, que conecta el valor del polinomio con el resto de una división.

Respuesta: $p(1) = -3$

5. Indicá el grado, el coeficiente principal y el término independiente de $p(x) = 5x^{4} + 5x^{1} + 1$ .

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1. Buscamos el grado. El grado es la potencia más alta que aparece con coeficiente no nulo: $4$ .

2. Identificamos el coeficiente principal. Es el que acompaña a la potencia más alta: $5$ .

3. Identificamos el término independiente. Es el término sin $x$ , o sea el valor del polinomio en cero.

4. Observamos. El grado determina cuántas raíces tiene el polinomio, contando multiplicidades. Por eso es el dato más importante.

Respuesta: el grado es $4$ y el coeficiente principal es $5$

6. Un polinomio de grado $2$ se multiplica por otro de grado $2$ . Indicá el grado del producto y el de la suma.

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1. Analizamos el producto. Al multiplicar, el término de mayor grado del resultado sale de multiplicar los dos términos principales.

2. Calculamos su grado. $2 + 2 = 4$ , así que el producto tiene grado $4$ .

3. Analizamos la suma. Al sumar, el grado es el mayor de los dos: $2$ .

4. Marcamos la excepción. Eso vale si los términos principales no se cancelan. Si tuvieran el mismo grado y coeficientes opuestos, el grado de la suma sería menor.

5. Concluimos. El producto tiene grado $4$ y la suma grado $2$ .

Respuesta: el producto tiene grado $4$ y la suma grado $2$

7. Calculá el producto $(3x + 4)(3x - 4)$ .

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1. Distribuimos. Se multiplica cada término del primer factor por cada término del segundo.

2. Hacemos los cuatro productos. $3x \cdot 3x = 9x^2$ , $3x \cdot (-4) = -12x$ , $4 \cdot 3x = 12x$ , $4 \cdot (-4) = -16$

3. Agrupamos los términos semejantes. Los dos términos con $x$ se suman: $-12 + 12 = 0$ .

4. Escribimos el resultado. $p(x) = 9 x^{2} - 16$

5. Verificamos el grado. Los factores tenían grado $1$ cada uno, así que el producto tiene grado $2$ , como corresponde.

Respuesta: $p(x) = 9 x^{2} - 16$

8. Evaluá el polinomio $p(x) = 3 x^{2} + 3 x + 2$ en $x = -3$ .

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1. Entendemos qué significa evaluar. Evaluar es reemplazar la variable por el número y hacer las cuentas.

2. Reemplazamos. $p(-3) = 20$

3. Damos el resultado. $p(-3) = 20$

4. Vemos para qué sirve. Si el resultado hubiera dado cero, $-3$ sería raíz del polinomio. Acá no lo es.

5. Anticipamos. Evaluar es la base del teorema del resto, que conecta el valor del polinomio con el resto de una división.

Respuesta: $p(-3) = 20$

9. Indicá el grado, el coeficiente principal y el término independiente de $p(x) = x^{2} + x^{1} + 7$ .

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1. Buscamos el grado. El grado es la potencia más alta que aparece con coeficiente no nulo: $2$ .

2. Identificamos el coeficiente principal. Es el que acompaña a la potencia más alta: $1$ .

3. Identificamos el término independiente. Es el término sin $x$ , o sea el valor del polinomio en cero.

4. Observamos. El grado determina cuántas raíces tiene el polinomio, contando multiplicidades. Por eso es el dato más importante.

Respuesta: el grado es $2$ y el coeficiente principal es $1$

10. Un polinomio de grado $4$ se multiplica por otro de grado $1$ . Indicá el grado del producto y el de la suma.

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1. Analizamos el producto. Al multiplicar, el término de mayor grado del resultado sale de multiplicar los dos términos principales.

2. Calculamos su grado. $4 + 1 = 5$ , así que el producto tiene grado $5$ .

3. Analizamos la suma. Al sumar, el grado es el mayor de los dos: $4$ .

4. Marcamos la excepción. Eso vale si los términos principales no se cancelan. Si tuvieran el mismo grado y coeficientes opuestos, el grado de la suma sería menor.

5. Concluimos. El producto tiene grado $5$ y la suma grado $4$ .

Respuesta: el producto tiene grado $5$ y la suma grado $4$

11. Calculá el producto $(2x + 2)(3x + 3)$ .

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1. Distribuimos. Se multiplica cada término del primer factor por cada término del segundo.

2. Hacemos los cuatro productos. $2x \cdot 3x = 6x^2$ , $2x \cdot 3 = 6x$ , $2 \cdot 3x = 6x$ , $2 \cdot 3 = 6$

3. Agrupamos los términos semejantes. Los dos términos con $x$ se suman: $6 + 6 = 12$ .

4. Escribimos el resultado. $p(x) = 6 x^{2} + 12 x + 6$

5. Verificamos el grado. Los factores tenían grado $1$ cada uno, así que el producto tiene grado $2$ , como corresponde.

Respuesta: $p(x) = 6 x^{2} + 12 x + 6$

12. Evaluá el polinomio $p(x) = x^{2} - 2 x + 3$ en $x = -1$ .

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1. Entendemos qué significa evaluar. Evaluar es reemplazar la variable por el número y hacer las cuentas.

2. Reemplazamos. $p(-1) = 6$

3. Damos el resultado. $p(-1) = 6$

4. Vemos para qué sirve. Si el resultado hubiera dado cero, $-1$ sería raíz del polinomio. Acá no lo es.

5. Anticipamos. Evaluar es la base del teorema del resto, que conecta el valor del polinomio con el resto de una división.

Respuesta: $p(-1) = 6$

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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