Integradores de Números complejos y polinomios

1. Miramos la escritura binómica. Un complejo es $a + bi$, con $a$ y $b$ reales.

2. Identificamos las dos partes. La parte real es $3$ y la imaginaria es $4$.

3. Ojo con la parte imaginaria. Es $4$ y no $4i$: es un número real, la $i$ no va incluida.

Respuesta: parte real $3$ y parte imaginaria $4$

b)

1. Multiplicamos como binomios. $(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 \cdot 1 - 6i + 4i - 8i^{2}$.

2. Usamos que $i^{2} = -1$. El último término deja de tener $i$ y cambia de signo.

3. Agrupamos. Queda $z \cdot w = 11 - 2i$.

4. Escribimos el conjugado de $z$. Se le cambia el signo a la parte imaginaria de a): $\overline{z} = 3 - 4i$.

Respuesta: $z \cdot w = 11 - 2i$ y $\overline{z} = 3 - 4i$

c)

1. Aplicamos la fórmula. El módulo es la raíz de la suma de los cuadrados de las dos partes de a).

2. Hacemos la cuenta. $|z| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25}$.

3. Cerramos. La raíz es exacta y da $5$.

Respuesta: $|z| = 5$

d)

1. Usamos el módulo de c). El primer dato de la forma polar es $\rho = 5$.

2. Calculamos el argumento. Las dos partes de a) son positivas, así que $z$ está en el primer cuadrante y $\theta = \arctan\dfrac{4}{3} \approx 53{,}1301^\circ$.

3. Cuidado con el cuadrante. El arcotangente solo devuelve ángulos entre $-90^\circ$ y $90^\circ$: hay que mirar los signos de las partes antes de aceptarlo. Acá está bien porque el punto está en el primer cuadrante.

4. Escribimos la forma polar. $z = 5\left(\cos 53{,}1301^\circ + i \operatorname{sen} 53{,}1301^\circ\right)$.

Respuesta: $\rho = 5$ y $\theta \approx 53{,}1301^\circ$

1. Calculamos el módulo. $\rho = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$.

2. Calculamos el argumento. Las dos partes valen $1$, así que el punto está sobre la bisectriz del primer cuadrante y $\theta = 45^\circ$.

3. Escribimos la forma polar. $z = \sqrt{2}\left(\cos 45^\circ + i \operatorname{sen} 45^\circ\right)$.

Respuesta: $\rho = \sqrt{2}$ y $\theta = 45^\circ$

b)

1. Recordamos la relación. La forma exponencial usa los mismos dos datos de a): $\rho e^{i\theta}$, con el ángulo en radianes.

2. Pasamos el ángulo a radianes. $45^\circ$ son $\dfrac{\pi}{4}$.

3. Escribimos. $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.

Respuesta: $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$, con $\rho = \sqrt{2}$ y $\theta = 45^\circ$

c)

1. Pasamos $w$ a polar. Su módulo es $2$ y, como está sobre el semieje imaginario positivo, su argumento es $90^\circ$.

2. Aplicamos la regla del producto. En polar los módulos se multiplican y los argumentos se suman, y los de $z$ son los de a).

3. Hacemos las dos cuentas. $\rho = \sqrt{2} \cdot 2 = 2 \sqrt{2}$ y $\theta = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$.

4. Verificamos en binómica. $(1 + i)(2i) = -2 + 2i$, que tiene módulo $2 \sqrt{2}$.

Respuesta: $\rho = 2 \sqrt{2}$ y $\theta = 135^\circ$

d)

1. Separamos esto de c). El producto de c) usaba dos números distintos; acá se eleva uno solo a una potencia, así que el módulo $2 \sqrt{2}$ que salió ahí no interviene.

2. Aplicamos De Moivre. El módulo se eleva a la potencia y el argumento se multiplica por ella, partiendo de los datos de a).

3. Calculamos el módulo. $\left(\sqrt{2}\right)^{4} = 4$.

4. Calculamos el argumento. $4 \cdot 45^\circ = 180^\circ$.

5. Volvemos a binómica. Un ángulo de $180^\circ$ deja el número sobre el semieje real negativo, así que $z^{4} = -4$.

Respuesta: $\rho = 4$ y $\theta = 180^\circ$, o sea $z^{4} = -4$

1. Pasamos $z$ a polar. $\rho = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = 2$ y, como las dos partes son positivas, $\theta = 60^\circ$.

2. Aplicamos De Moivre. El módulo se eleva al cubo y el argumento se triplica: $2^{3} = 8$ y $3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$.

3. Volvemos a binómica. Un ángulo de $180^\circ$ apunta al semieje real negativo, así que $z^{3} = -8$.

Respuesta: $z^{3} = -8$, con $\rho = 8$ y $\theta = 180^\circ$

b)

1. Partimos del resultado de a). Hay que sacarle raíz cúbica a un número de módulo $8$ y argumento $180^\circ$.

2. Calculamos el módulo de las raíces. Es la raíz cúbica del módulo: $\sqrt[3]{8} = 2$.

3. Calculamos los argumentos. Se divide el argumento por $3$ y se le suma $\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ cada vez: $60^\circ$, $180^\circ$ y $300^\circ$.

4. Contamos. Son $3$ raíces, como tiene que ser: una raíz $n$-ésima siempre da $n$ resultados distintos.

Respuesta: las tres tienen módulo $2$ y argumentos $60^\circ$, $180^\circ$ y $300^\circ$

c)

1. Escribimos el $1$ en polar. Módulo $1$ y argumento $0^\circ$.

2. Repetimos el procedimiento de b). El módulo de las raíces es $\sqrt[3]{1} = 1$ y los argumentos van de $120^\circ$ en $120^\circ$ arrancando de cero.

3. Los escribimos. $0^\circ$, $120^\circ$ y $240^\circ$.

4. Comparamos con b). Los argumentos se separan igual: las raíces de b) son las de la unidad giradas y estiradas.

Respuesta: las tres tienen módulo $1$ y argumentos $0^\circ$, $120^\circ$ y $240^\circ$

d)

1. Leemos los módulos de b). Las tres valen $2$.

2. Leemos los de c). Las tres valen $1$.

3. Vemos por qué son todos iguales dentro de cada grupo. La raíz $n$-ésima solo cambia el argumento de una raíz a la otra, no el módulo: las $n$ raíces caen sobre una misma circunferencia.

Respuesta: las de b) tienen módulo $2$ y las de c) módulo $1$

1. Miramos el término de mayor exponente. Es $x^{3}$, así que el grado de $P$ es $3$.

2. Sumamos término a término. Se agrupan los que tienen el mismo exponente: $P + Q = x^{3} - x^{2} - 5 x + 7$.

3. Miramos el grado de la suma. Sigue siendo $3$, porque $Q$ tiene grado menor y no puede cancelar el término de $x^{3}$.

Respuesta: el grado de $P$ es $3$ y $P + Q = x^{3} - x^{2} - 5 x + 7$

b)

1. Escribimos los coeficientes de $P$. Son $1$, $-2$, $-5$ y $6$, y hay que ponerlos todos, incluidos los ceros si faltara algún grado.

2. Aplicamos Ruffini con $1$. Se baja el primero y cada uno se multiplica por $1$ y se suma al siguiente.

3. Leemos el resultado. El cociente es $x^{2} - x - 6$ y el resto es $0$.

4. Verificamos. $(x - 1)\left(x^{2} - x - 6\right) + 0$ expandido da $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$.

Respuesta: cociente $x^{2} - x - 6$ y resto $0$

c)

1. Recordamos el teorema. El resto de dividir por $x - a$ es $P(a)$, sin hacer la división.

2. Evaluamos. $P(1) = 1^{3} + (-2) \cdot 1^{2} + (-5) \cdot 1 + 6 = 0$.

3. Comparamos con b). El resto que salió ahí es $0$: coincide.

4. Sacamos la conclusión. Como el resto es cero, $x - 1$ es factor de $P$.

Respuesta: $P(1) = 0$, que es el resto de b), y $x - 1$ es factor

d)

1. Usamos el factor de c). $P = (x - 1)\left(x^{2} - x - 6\right)$, con el cociente que salió en b).

2. Factorizamos el cociente. Es de grado $2$: buscamos dos números que sumen $-1$ y multipliquen $-6$.

3. Los encontramos. Son $-3$ y $2$.

4. Escribimos todo junto y verificamos. Expandiendo el producto vuelve $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$.

Respuesta: $P(x) = \left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)$

1. Recordamos el criterio. Las candidatas son los cocientes $\dfrac{p}{q}$ con $p$ divisor del término independiente y $q$ divisor del coeficiente principal.

2. Listamos los divisores. Del $2$ independiente: $1$, $-1$, $2$ y $-2$. Del $2$ principal, los mismos cuatro.

3. Armamos los cocientes. Quedan $1$, $-1$, $2$, $-2$, $\dfrac{1}{2}$ y $-\dfrac{1}{2}$.

4. Ojo con el alcance. Esto NO dice que haya raíces racionales: dice que si las hay, están en esa lista.

Respuesta: las candidatas son $1$, $-1$, $2$, $-2$, $\dfrac{1}{2}$ y $-\dfrac{1}{2}$

b)

1. Probamos la primera candidata de a). $P(1) = -2$, distinto de cero, así que $1$ no es raíz.

2. Probamos con $2$. $P(2) = 0$, así que $2$ sí es raíz.

3. Hacemos la división por Ruffini. Con los coeficientes $2$, $-3$, $-3$ y $2$, dividiendo por $x - 2$ el cociente es $2 x^{2} + x - 1$ y el resto es $0$.

4. Verificamos. $(x - 2)\left(2 x^{2} + x - 1\right)$ expandido da $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$.

Respuesta: $2$ es raíz y $x - 2$ es factor, con cociente $2 x^{2} + x - 1$ y resto $0$

c)

1. Partimos de la división de b). $P = (x - 2)\left(2 x^{2} + x - 1\right)$.

2. Factorizamos el cociente de grado $2$. Sus raíces salen de la resolvente o probando las candidatas que quedaron de a).

3. Las encontramos. Son $- \dfrac{1}{2}$ y $2$, las dos en la lista de a).

4. Escribimos la factorización. No hay que olvidarse del coeficiente principal $2$.

Respuesta: $P(x) = \left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(2 x - 1\right)$

d)

1. Miramos el grado. $P$ tiene grado $3$.

2. Aplicamos el teorema. Un polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces en los complejos, contadas con su multiplicidad.

3. Contamos las de c). Salieron $2$, $- \dfrac{1}{2}$ y $2$: son $3$, cada una simple.

4. Cerramos. Coinciden con el grado, así que la factorización de c) está completa y no falta ninguna raíz.

Respuesta: tiene que tener $3$ raíces y c) encontró las $3$

1. Recordamos el teorema del factor. $a$ es raíz de $P$ si y solo si $P(a) = 0$, y en ese caso $x - a$ divide a $P$.

2. Evaluamos. $P(2i) = (2i)^{3} - 3(2i)^{2} + 4(2i) - 12$.

3. Usamos las potencias de $i$. $(2i)^{2} = -4$ y $(2i)^{3} = -8i$, así que queda $-8i + 12 + 8i - 12$.

4. Sumamos. Da $0$, así que $z$ es raíz.

Respuesta: $P(2i) = 0$, así que $z$ es raíz y $x - z$ es factor

b)

1. Miramos los coeficientes de $P$. Son todos reales.

2. Aplicamos la propiedad. Con coeficientes reales, las raíces complejas vienen de a pares conjugados.

3. Escribimos la conjugada de la de a). $\overline{z} = -2i$.

4. Verificamos. $P(-2i) = 0$.

Respuesta: $\overline{z} = -2i$ también es raíz, con $P$ evaluado ahí igual a $0$, y el par deja el factor real $x^{2} + 4$

c)

1. Juntamos las dos raíces de a) y b). Los factores $(x - 2i)$ y $(x + 2i)$ dividen a $P$.

2. Multiplicamos esos dos factores. $(x - 2i)(x + 2i) = x^{2} + 4$, sin parte imaginaria: el par conjugado siempre deja un factor real.

3. Dividimos $P$ por ese factor. El cociente es $x - 3$, que aporta la tercera raíz.

4. Escribimos todo. Y expandiendo vuelve $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$.

Respuesta: $P(x) = \left(x - 3\right) \left(x - 2 i\right) \left(x + 2 i\right)$

d)

1. Listamos las tres raíces de c). Son $2i$, $-2i$ y $3$.

2. Armamos el producto de los factores. Mónico quiere decir coeficiente principal $1$, así que no hay que multiplicar por nada.

3. Expandimos. El par conjugado da $x^{2} + 4$ y multiplicando por $(x - 3)$ vuelve $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$.

4. Lo leemos. Es el mismo $P$ del enunciado, y tenía que serlo: un polinomio mónico queda determinado por sus raíces.

Respuesta: $P(x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

1. Leemos la escritura binómica. El número está escrito como $a + bi$.

2. Identificamos. La parte real es $-3$ y la imaginaria es $4$.

3. Ubicamos el punto. Con parte real negativa e imaginaria positiva, $z$ cae en el segundo cuadrante del plano.

Respuesta: parte real $-3$ y parte imaginaria $4$

b)

1. Sumamos parte con parte. Las reales entre sí y las imaginarias entre sí, usando las de a): $z + w = -1 + 5i$.

2. Restamos igual. $z - w = -5 + 3i$.

3. Lo leemos en el plano. Sumar complejos es sumar vectores: la suma es la diagonal del paralelogramo.

Respuesta: $z + w = -1 + 5i$ y $z - w = -5 + 3i$

c)

1. Aplicamos la fórmula. El módulo es la distancia al origen, o sea la raíz de la suma de los cuadrados de las partes de a).

2. Cuidado con el signo. La parte real es $-3$, pero al elevarla al cuadrado queda positiva: $(-3)^{2} = 9$.

3. Cerramos. $|z| = \sqrt{9 + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Respuesta: $|z| = 5$

d)

1. Traducimos la condición. $|u| = 5$ dice que la distancia de $u$ al origen es el módulo de c).

2. Escribimos en coordenadas. Con $u = x + yi$ queda $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 5$, o sea $x^{2} + y^{2} = 25$.

3. Reconocemos la curva. Es una circunferencia de centro $(0; 0)$ y radio $5$.

4. Ojo con el detalle. Es la circunferencia y no el círculo: la condición es una igualdad, no una desigualdad, así que el interior no entra.

Respuesta: la circunferencia $x^{2} + y^{2} = 25$, de centro $(0; 0)$ y radio $5$

1. Ubicamos $z$. Está sobre el semieje imaginario negativo, así que su módulo es $8$ y su argumento es $270^\circ$.

2. Ubicamos $w$. Está sobre el semieje imaginario positivo: módulo $2$ y argumento $90^\circ$.

3. Cuidado con el argumento de $z$. El arcotangente de la división de las partes no distingue arriba de abajo: hay que mirar en qué semieje cae el punto.

Respuesta: $z$ tiene $\rho = 8$ y $\theta = 270^\circ$; $w$ tiene $\rho = 2$ y $\theta = 90^\circ$

b)

1. Aplicamos la regla del cociente. Los módulos se dividen y los argumentos se restan, partiendo de los datos de a).

2. Dividimos los módulos. $\dfrac{8}{2} = 4$.

3. Restamos los argumentos. $270^\circ - 90^\circ = 180^\circ$, que apunta al semieje real negativo.

4. Verificamos en binómica. $\dfrac{-8i}{2i} = -4$.

Respuesta: $\rho = 4$ y $\theta = 180^\circ$, o sea $-4$

c)

1. Tomamos los datos de $w$ de a). Módulo $2$ y argumento $90^\circ$.

2. Aplicamos De Moivre. $2^{3} = 8$ y $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$.

3. Volvemos a binómica. $270^\circ$ apunta al semieje imaginario negativo, así que $w^{3} = -8i$.

4. Lo cruzamos con el enunciado. Ese resultado es justamente $z$, y por eso las raíces cúbicas de d) van a incluir a $w$.

Respuesta: $\rho = 8$ y $\theta = 270^\circ$, o sea $w^{3} = -8i$

d)

1. Partimos de $z$ en polar. Módulo $8$ y argumento $270^\circ$, de a).

2. Sacamos la raíz cúbica del módulo. $\sqrt[3]{8} = 2$.

3. Repartimos los argumentos. Se divide por $3$ y se suma $120^\circ$ cada vez: $90^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.

4. Chequeamos con c). Entre las tres tiene que estar $w$, que tiene argumento $90^\circ$, y está.

Respuesta: las tres tienen módulo $2$ y argumentos $90^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$

1. Miramos el término de mayor exponente. Es $x^{3}$, así que el grado de $P$ es $3$.

2. Pensamos el producto. Al multiplicar dos polinomios, los términos de mayor grado se multiplican entre sí.

3. Sumamos los grados. $3 + 3 = 6$, así que $P \cdot P$ tendría grado $6$.

Respuesta: el grado de $P$ es $3$ y el de $P \cdot P$ es $6$

b)

1. Armamos las candidatas. El término independiente es $-4$ y el coeficiente principal es $1$, así que las candidatas son los divisores de $4$: $1$, $-1$, $2$, $-2$, $4$ y $-4$.

2. Probamos con $1$. $P(1) = 0$.

3. Concluimos. Da cero, así que $1$ es raíz y $x - 1$ es factor. De las $6$ candidatas alcanzó con probar la primera.

Respuesta: $1$ es raíz y $x - 1$ es factor, con $P(1) = 0$

c)

1. Tomamos el factor de b). Dividimos por $x - 1$.

2. Escribimos los coeficientes. $1$, $-1$, $4$ y $-4$.

3. Aplicamos Ruffini. El cociente es $x^{2} + 4$ y el resto es $0$, como tenía que ser porque $1$ es raíz.

4. Verificamos. $(x - 1)\left(x^{2} + 4\right)$ expandido da $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$.

Respuesta: el cociente es $x^{2} + 4$ y el resto es $0$

d)

1. Igualamos a cero el cociente de c). $x^{2} + 4 = 0$, o sea $x^{2} = -4$.

2. Resolvemos en los complejos. $x = \pm 2i$.

3. Verificamos que sean conjugadas. $2i$ y $-2i$ tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas.

4. Vemos por qué tenía que pasar. $P$ tiene todos sus coeficientes reales, y con coeficientes reales las raíces complejas vienen de a pares conjugados.

Respuesta: las raíces complejas son $2i$ y $-2i$, conjugadas, y dejan el factor real $x^{2} + 4$

1. Recordamos el teorema del resto. El resto de dividir por $x - a$ es $P(a)$.

2. Evaluamos en $1$. $P(1) = 1^{3} + (-6) \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6 = 0$.

3. Aplicamos el teorema del factor. El resto da cero, así que $x - 1$ divide a $P$ sin resto.

Respuesta: $P(1) = 0$, así que $x - 1$ es factor

b)

1. Miramos el grado. El término de mayor exponente es $x^{3}$, así que el grado es $3$.

2. Aplicamos el teorema. Un polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces en los complejos, contadas con multiplicidad.

3. Contamos las que ya tenemos. De a) sabemos una, la $x = 1$, así que faltan $2$.

Respuesta: tiene $3$ raíces y de a) ya conocemos $1$

c)

1. Dividimos $P$ por el factor de a). Con Ruffini, el cociente es $x^{2} - 5 x + 6$.

2. Chequeamos el grado. Es $2$, que son las $2$ raíces que faltaban según b).

3. Chequeamos que sea mónico. El coeficiente de $x^{2}$ es $1$, así que ya lo es y no hay que dividir por nada.

4. Verificamos. Sus raíces son $2$ y $3$, y multiplicando $(x - 1)$ por este cociente vuelve $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$.

Respuesta: $C(x) = x^{2} - 5 x + 6$

d)

1. Sumamos término a término. Agrupamos los del mismo exponente de $P$ y del $C$ de c).

2. Hacemos la cuenta. $P + C = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$.

3. Miramos el grado. Sigue siendo $3$: el término $x^{3}$ está solo en $P$ y nada lo cancela.

4. Anotamos cuándo bajaría. El grado de una suma solo baja si los términos principales se cancelan, y eso pide mismo grado y coeficientes opuestos.

Respuesta: $P + C = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$, de grado $3$

1. Escribimos el conjugado. $\overline{z} = 1 + i$.

2. Multiplicamos. Es una diferencia de cuadrados: $(1 - i)(1 + i) = 1 - i^{2}$.

3. Usamos $i^{2} = -1$. Queda $1 + 1 = 2$.

4. Vemos qué representa. Da el módulo al cuadrado: $z \cdot \overline{z} = |z|^{2}$, y por eso el resultado es real y no negativo.

Respuesta: $z \cdot \overline{z} = 2$, que es $|z|^{2}$ y tiene parte imaginaria $0$

b)

1. Sacamos el módulo de a). Como $|z|^{2} = 2$, el módulo es $\sqrt{2} = \sqrt{2}$.

2. Calculamos el argumento. La parte real es positiva y la imaginaria negativa, así que $z$ está en el cuarto cuadrante: $\theta = 315^\circ$.

3. Pasamos a radianes. $315^\circ$ son $\dfrac{7\pi}{4}$.

4. Escribimos. $z = \sqrt{2}\,e^{i\,7\pi/4}$.

Respuesta: $z = \sqrt{2}\,e^{i\,7\pi/4}$, con $\rho = \sqrt{2}$ y $\theta = 315^\circ$

c)

1. Pasamos $w$ a polar. Está sobre el semieje imaginario positivo: módulo $3$ y argumento $90^\circ$.

2. Multiplicamos los módulos. Con el de b), $\sqrt{2} \cdot 3 = 3 \sqrt{2}$.

3. Sumamos los argumentos. $315^\circ + 90^\circ = 405^\circ$, y como pasa de $360^\circ$ le restamos una vuelta: $45^\circ$.

4. Verificamos en binómica. $(1 - i)(3i) = 3 + 3i$.

Respuesta: $\rho = 3 \sqrt{2}$ y $\theta = 45^\circ$

d)

1. Separamos esto de c). El módulo $3 \sqrt{2}$ que salió en c) es el del producto, no el de $z$: acá hay que usar el de b).

2. Traducimos la condición. Pide los $u$ cuya distancia al origen no supere el módulo de b).

3. Escribimos en coordenadas. $x^{2} + y^{2} \leq 2$.

4. Reconocemos la región. Es el disco de centro $(0; 0)$ y radio $\sqrt{2}$, con el borde incluido porque la desigualdad no es estricta.

5. Marcamos la diferencia. Con un igual sería solo la circunferencia; con el menor o igual entra todo el interior.

Respuesta: el disco $x^{2} + y^{2} \leq 2$, de centro $(0; 0)$ y radio $\sqrt{2}$

1. Armamos las candidatas. El término independiente es $-1$ y el coeficiente principal es $1$, así que las candidatas son $1$ y $-1$.

2. Probamos con $1$. $P(1) = 1 - 1 = 0$, así que es raíz.

3. Probamos con $-1$. $P(-1) = 1 - 1 = 0$, así que también.

4. Contamos. De las $2$ candidatas, las $2$ son raíces.

Respuesta: las raíces racionales son $1$ y $-1$

b)

1. Sacamos los factores de a). $P = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} + 1\right)$.

2. Igualamos a cero el último factor. $x^{2} + 1 = 0$, o sea $x^{2} = -1$.

3. Resolvemos en los complejos. $x = i$ y $x = -i$.

4. Verificamos que sean conjugadas. Las dos tienen parte real $0$ y partes imaginarias opuestas, como pide la propiedad para un polinomio de coeficientes reales.

Respuesta: las raíces complejas son $i$ y $-i$, conjugadas, y dejan el factor real $x^{2} + 1$

c)

1. Juntamos todas las raíces. De a) salieron $1$ y $-1$, y de b) $i$ y $-i$: son $4$ en total.

2. Vemos qué ecuación cumplen. $P(x) = 0$ es $x^{4} = 1$, que es exactamente la definición de raíz cuarta de la unidad.

3. Concluimos. Las $4$ raíces de $P$ son las $4$ raíces cuartas de la unidad.

4. Lo miramos en el plano. Están sobre la circunferencia de radio $1$, separadas $90^\circ$ entre sí.

Respuesta: son las $4$ raíces cuartas de la unidad

d)

1. Calculamos el módulo. Las $4$ de c) están sobre la circunferencia unidad, así que todas tienen módulo $1$.

2. Calculamos los argumentos. Arrancan en $0^\circ$ y van de $\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ en $90^\circ$.

3. Los escribimos. $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ y $270^\circ$.

4. Los cruzamos con a) y b). El de $0^\circ$ es el $1$, el de $180^\circ$ es el $-1$, y los de $90^\circ$ y $270^\circ$ son las dos complejas.

Respuesta: las cuatro tienen módulo $1$ y argumentos $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ y $270^\circ$