Raíces y factorización

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de factores más simples. Es lo que permite resolver ecuaciones, simplificar fracciones algebraicas y estudiar el signo.

Cada raíz aporta un factor de grado uno. Si se conocen todas las raíces, la factorización sale escribiendo un factor por cada una y multiplicando por el coeficiente principal.

Una raíz puede repetirse, y en ese caso su factor aparece elevado a una potencia. Esa potencia se llama multiplicidad.

La multiplicidad tiene lectura gráfica. Si es impar, la curva atraviesa el eje en esa raíz. Si es par, lo toca y vuelve sin cruzarlo.

La suma de todas las multiplicidades no puede superar al grado del polinomio.

El procedimiento práctico es encontrar una raíz, dividir por Ruffini, y repetir con el cociente hasta llegar a grado dos, donde ya se usa la resolvente.

Los factores de grado dos sin raíces reales no se pueden descomponer más si se trabaja con reales, pero sí se descomponen si se admiten complejos.

P(x) = (x - a) \cdot C(x)

Cuándo se usa

Cuando hay que resolver una ecuación polinómica, simplificar una fracción algebraica o estudiar el signo. Encontrá una raíz, dividí por Ruffini y repetí con el cociente.

Ejemplo 1

Factorizar $P(x) = x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6$ .

Buscamos una raíz tanteando. $P(2) = 8 - 8 + 6 - 6 = 0$ , así que $2$ es raíz.
Dividimos por $x - 2$ . Con Ruffini el cociente es $x^{2} + 3$ y el resto $0$ .
Resolvemos el cociente. $x^{2} + 3 = 0$ da $x = \pm \sqrt{3} i$ . La factorización completa es $(x - 2)(x - \sqrt{3} i)(x + \sqrt{3} i)$ .
Respuesta: $(x - 2)(x^{2} + 3)$

Ejemplo 2

Factorizar $P(x) = x^{2} - 5x + 6$ .

Es de grado dos, así que va la fórmula. El discriminante es $25 - 24 = 1$ .
Calculamos las raíces. $x = (5 \pm 1) / 2$ , o sea $3$ y $2$ .
Escribimos los factores. $(x - 3)(x - 2)$ . Distribuyendo se recupera el polinomio.
Respuesta: $(x - 3)(x - 2)$

Error típico

Concluir que un polinomio tiene una sola raíz porque el gráfico cruza una sola vez. El gráfico muestra las raíces reales. Las complejas están y hay que buscarlas con la fórmula.

Practicar

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