Ejercicios: Raíces y factorización

P(x) = (x - a) \cdot C(x)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Factorizá $p(x) = x^{2} + 6 x + 8$ hallando sus raíces.

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1. Planteamos la ecuación. Igualamos a cero: $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ .

2. Buscamos dos números. Necesitamos dos números que sumen $-6$ y multipliquen $8$ .

3. Los encontramos. Son $-4$ y $-2$ .

4. Escribimos la factorización. $p(x) = (x + 4)(x + 2)$

5. Verificamos. Desarrollando el producto se recupera $x^{2} + 6 x + 8$ .

Respuesta: $p(x) = (x + 4)(x + 2)$

2. Factorizá $p(x) = x^{2} + 4 x + 4$ e indicá la multiplicidad de sus raíces.

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1. Buscamos las raíces. Necesitamos dos números que sumen $-4$ y multipliquen $4$ .

2. Encontramos una raíz doble. Los dos números son $-2$ y $-2$ : la misma raíz repetida.

3. Escribimos la factorización. $p(x) = (x + 2)^2$

4. Indicamos la multiplicidad. La raíz $-2$ tiene multiplicidad $2$ .

5. Interpretamos gráficamente. Una raíz de multiplicidad par significa que la curva toca el eje $x$ en $-2$ pero no lo cruza.

Respuesta: $p(x) = (x + 2)^2$ , con raíz $-2$ de multiplicidad $2$

3. Factorizá $p(x) = x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ sabiendo que $2$ es una de sus raíces.

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1. Usamos el dato. Como $2$ es raíz, $(x - 2)$ es factor.

2. Dividimos con Ruffini. Al dividir $p(x)$ por ese factor queda un cociente de grado $2$ : $x^{2} + 3 x + 2$ .

3. Factorizamos el cociente. Buscamos dos números que sumen $-3$ y multipliquen $2$ : son $-1$ y $-2$ .

4. Escribimos la factorización completa. $p(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 2)$

5. Observamos. Cada raíz encontrada baja el grado en uno, así que el problema se vuelve más simple con cada paso.

Respuesta: $p(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 2)$

4. Factorizá $p(x) = x^2 + 9$ en los complejos.

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1. Vemos qué pasa en los reales. $x^2 + 9 = 0$ da $x^2 = -9$ , que no tiene solución real.

2. Pasamos a los complejos. $x = \pm\sqrt{9}\,i = \pm 3i$

3. Escribimos la factorización. $p(x) = (x - 3i)(x + 3i)$

4. Verificamos. Desarrollando: $x^2 - (3i)^2 = x^2 + 9$ .

5. Observamos. Sobre los complejos todo polinomio se factoriza completamente en factores de grado uno. Sobre los reales eso no siempre pasa.

Respuesta: $p(x) = (x - 3i)(x + 3i)$

5. Factorizá $p(x) = x^{2} + 7 x + 12$ hallando sus raíces.

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1. Planteamos la ecuación. Igualamos a cero: $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ .

2. Buscamos dos números. Necesitamos dos números que sumen $-7$ y multipliquen $12$ .

3. Los encontramos. Son $-3$ y $-4$ .

4. Escribimos la factorización. $p(x) = (x + 3)(x + 4)$

5. Verificamos. Desarrollando el producto se recupera $x^{2} + 7 x + 12$ .

Respuesta: $p(x) = (x + 3)(x + 4)$

6. Factorizá $p(x) = x^{2} + 6 x + 9$ e indicá la multiplicidad de sus raíces.

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1. Buscamos las raíces. Necesitamos dos números que sumen $-6$ y multipliquen $9$ .

2. Encontramos una raíz doble. Los dos números son $-3$ y $-3$ : la misma raíz repetida.

3. Escribimos la factorización. $p(x) = (x + 3)^2$

4. Indicamos la multiplicidad. La raíz $-3$ tiene multiplicidad $2$ .

5. Interpretamos gráficamente. Una raíz de multiplicidad par significa que la curva toca el eje $x$ en $-3$ pero no lo cruza.

Respuesta: $p(x) = (x + 3)^2$ , con raíz $-3$ de multiplicidad $2$

7. Factorizá $p(x) = x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$ sabiendo que $-1$ es una de sus raíces.

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1. Usamos el dato. Como $-1$ es raíz, $(x + 1)$ es factor.

2. Dividimos con Ruffini. Al dividir $p(x)$ por ese factor queda un cociente de grado $2$ : $x^{2} + 2 x - 3$ .

3. Factorizamos el cociente. Buscamos dos números que sumen $-2$ y multipliquen $-3$ : son $1$ y $-3$ .

4. Escribimos la factorización completa. $p(x) = (x + 1)(x - 1)(x + 3)$

5. Observamos. Cada raíz encontrada baja el grado en uno, así que el problema se vuelve más simple con cada paso.

Respuesta: $p(x) = (x + 1)(x - 1)(x + 3)$

8. Factorizá $p(x) = x^2 + 4$ en los complejos.

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1. Vemos qué pasa en los reales. $x^2 + 4 = 0$ da $x^2 = -4$ , que no tiene solución real.

2. Pasamos a los complejos. $x = \pm\sqrt{4}\,i = \pm 2i$

3. Escribimos la factorización. $p(x) = (x - 2i)(x + 2i)$

4. Verificamos. Desarrollando: $x^2 - (2i)^2 = x^2 + 4$ .

5. Observamos. Sobre los complejos todo polinomio se factoriza completamente en factores de grado uno. Sobre los reales eso no siempre pasa.

Respuesta: $p(x) = (x - 2i)(x + 2i)$

9. Factorizá $p(x) = x^{2} - 2 x - 3$ hallando sus raíces.

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1. Planteamos la ecuación. Igualamos a cero: $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

2. Buscamos dos números. Necesitamos dos números que sumen $2$ y multipliquen $-3$ .

3. Los encontramos. Son $3$ y $-1$ .

4. Escribimos la factorización. $p(x) = (x - 3)(x + 1)$

5. Verificamos. Desarrollando el producto se recupera $x^{2} - 2 x - 3$ .

Respuesta: $p(x) = (x - 3)(x + 1)$

10. Factorizá $p(x) = x^{2} - 6 x + 9$ e indicá la multiplicidad de sus raíces.

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1. Buscamos las raíces. Necesitamos dos números que sumen $6$ y multipliquen $9$ .

2. Encontramos una raíz doble. Los dos números son $3$ y $3$ : la misma raíz repetida.

3. Escribimos la factorización. $p(x) = (x - 3)^2$

4. Indicamos la multiplicidad. La raíz $3$ tiene multiplicidad $2$ .

5. Interpretamos gráficamente. Una raíz de multiplicidad par significa que la curva toca el eje $x$ en $3$ pero no lo cruza.

Respuesta: $p(x) = (x - 3)^2$ , con raíz $3$ de multiplicidad $2$

11. Factorizá $p(x) = x^{3} - 7 x - 6$ sabiendo que $-1$ es una de sus raíces.

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1. Usamos el dato. Como $-1$ es raíz, $(x + 1)$ es factor.

2. Dividimos con Ruffini. Al dividir $p(x)$ por ese factor queda un cociente de grado $2$ : $x^{2} - x - 6$ .

3. Factorizamos el cociente. Buscamos dos números que sumen $1$ y multipliquen $-6$ : son $3$ y $-2$ .

4. Escribimos la factorización completa. $p(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 2)$

5. Observamos. Cada raíz encontrada baja el grado en uno, así que el problema se vuelve más simple con cada paso.

Respuesta: $p(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 2)$

12. Factorizá $p(x) = x^2 + 1$ en los complejos.

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1. Vemos qué pasa en los reales. $x^2 + 1 = 0$ da $x^2 = -1$ , que no tiene solución real.

2. Pasamos a los complejos. $x = \pm\sqrt{1}\,i = \pm i$

3. Escribimos la factorización. $p(x) = (x - i)(x + i)$

4. Verificamos. Desarrollando: $x^2 - (i)^2 = x^2 + 1$ .

5. Observamos. Sobre los complejos todo polinomio se factoriza completamente en factores de grado uno. Sobre los reales eso no siempre pasa.

Respuesta: $p(x) = (x - i)(x + i)$

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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