Ejercicios: Teorema del resto y del factor

resto

= P(a)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Usando el teorema del resto, hallá el resto de dividir $p(x) = x^{2} - 5 x + 1$ por $(x - 2)$ .

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1. Enunciamos el teorema. El resto de dividir un polinomio por $x$ menos un número es simplemente el valor del polinomio en ese número.

2. Identificamos el número. El divisor es $x - 2$ , así que el número es $2$ .

3. Evaluamos. $p(2) = -5$

4. Escribimos el resto. El resto es $-5$ .

5. Comparamos con Ruffini. Hacer Ruffini daría lo mismo, pero si solo hace falta el resto, evaluar es mucho más rápido.

Respuesta: el resto es $-5$

2. Decidí si $(x - 1)$ es factor de $p(x) = x^{2} - 1$ .

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1. Enunciamos el teorema del factor. $x$ menos un número es factor de un polinomio exactamente cuando ese número es raíz, o sea cuando el polinomio se anula ahí.

2. Evaluamos. $p(1) = 0$

3. Leemos el resultado. El polinomio se anula en ese valor.

4. Concluimos. $(x - 1)$ sí es factor de $p(x)$ .

5. Observamos. El teorema del factor es un caso particular del teorema del resto: resto cero equivale a división exacta.

Respuesta: sí es factor, porque $p(1) = 0$

3. Hallá el valor de $k$ para que $(x + 1)$ sea factor de $p(x) = x^2 + kx + 6$ .

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1. Aplicamos el teorema del factor. Para que sea factor, $-1$ tiene que ser raíz: $p(-1) = 0$ .

2. Evaluamos con la incógnita. $(-1)^2 + k(-1) + 6 = 1 - k + 6$

3. Igualamos a cero. $7 - k = 0$

4. Despejamos. $k = 7$

5. Verificamos. Con ese valor, $p(-1)$ da cero, así que la división es exacta.

Respuesta: $k = 7$

4. Explicá la diferencia entre el teorema del resto y el teorema del factor.

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1. Enunciamos el del resto. Dice que el resto de dividir $p(x)$ por $x - a$ es $p(a)$ . Vale siempre, dé lo que dé.

2. Enunciamos el del factor. Dice que $x - a$ es factor de $p(x)$ exactamente cuando $p(a) = 0$ .

3. Vemos la relación. El del factor es el caso particular del del resto cuando el resto vale cero.

4. Vemos para qué sirve cada uno. El del resto sirve para calcular un resto sin dividir. El del factor sirve para decidir si un polinomio se puede factorizar por ahí.

5. Damos el uso combinado. Juntos permiten buscar raíces evaluando, y cada raíz encontrada da un factor que baja el grado del problema.

Respuesta: el del factor es el caso particular del del resto cuando el resto vale cero

5. Usando el teorema del resto, hallá el resto de dividir $p(x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ por $(x + 3)$ .

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1. Enunciamos el teorema. El resto de dividir un polinomio por $x$ menos un número es simplemente el valor del polinomio en ese número.

2. Identificamos el número. El divisor es $x + 3$ , así que el número es $-3$ .

3. Evaluamos. $p(-3) = 28$

4. Escribimos el resto. El resto es $28$ .

5. Comparamos con Ruffini. Hacer Ruffini daría lo mismo, pero si solo hace falta el resto, evaluar es mucho más rápido.

Respuesta: el resto es $28$

6. Decidí si $(x - 1)$ es factor de $p(x) = 3 x^{2} - 15 x + 12$ .

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1. Enunciamos el teorema del factor. $x$ menos un número es factor de un polinomio exactamente cuando ese número es raíz, o sea cuando el polinomio se anula ahí.

2. Evaluamos. $p(1) = 0$

3. Leemos el resultado. El polinomio se anula en ese valor.

4. Concluimos. $(x - 1)$ sí es factor de $p(x)$ .

5. Observamos. El teorema del factor es un caso particular del teorema del resto: resto cero equivale a división exacta.

Respuesta: sí es factor, porque $p(1) = 0$

7. Hallá el valor de $k$ para que $(x - 1)$ sea factor de $p(x) = x^2 + kx + 6$ .

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1. Aplicamos el teorema del factor. Para que sea factor, $1$ tiene que ser raíz: $p(1) = 0$ .

2. Evaluamos con la incógnita. $(1)^2 + k(1) + 6 = 1 + k + 6$

3. Igualamos a cero. $7 + k = 0$

4. Despejamos. $k = -7$

5. Verificamos. Con ese valor, $p(1)$ da cero, así que la división es exacta.

Respuesta: $k = -7$

8. Demostrá el teorema del resto: que el resto de dividir $p(x)$ por $x - a$ es $p(a)$ .

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1. Escribimos la identidad de la división. $p(x) = q(x)(x - a) + r(x)$ , donde $q$ es el cociente y $r$ el resto.

2. Acotamos el grado del resto. El divisor tiene grado $1$ , así que el resto tiene grado $0$ o es cero. En los dos casos es una constante, que llamamos $r$ .

3. Reescribimos. $p(x) = q(x)(x - a) + r$

4. Evaluamos en $a$ . $p(a) = q(a)(a - a) + r = q(a) \cdot 0 + r$

5. Concluimos. $p(a) = r$ . El resto es el valor del polinomio en $a$ .

6. Observamos el truco. Todo el peso lo hace evaluar justo en el número que anula al divisor. Es el mismo recurso que se usa para demostrar el teorema del factor.

Respuesta: queda demostrado: evaluando la identidad de la división en $a$ se anula el término del cociente y sobrevive solo el resto

9. Usando el teorema del resto, hallá el resto de dividir $p(x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ por $(x + 2)$ .

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1. Enunciamos el teorema. El resto de dividir un polinomio por $x$ menos un número es simplemente el valor del polinomio en ese número.

2. Identificamos el número. El divisor es $x + 2$ , así que el número es $-2$ .

3. Evaluamos. $p(-2) = 24$

4. Escribimos el resto. El resto es $24$ .

5. Comparamos con Ruffini. Hacer Ruffini daría lo mismo, pero si solo hace falta el resto, evaluar es mucho más rápido.

Respuesta: el resto es $24$

10. Decidí si $(x + 1)$ es factor de $p(x) = x^{2} - 3 x - 4$ .

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1. Enunciamos el teorema del factor. $x$ menos un número es factor de un polinomio exactamente cuando ese número es raíz, o sea cuando el polinomio se anula ahí.

2. Evaluamos. $p(-1) = 0$

3. Leemos el resultado. El polinomio se anula en ese valor.

4. Concluimos. $(x + 1)$ sí es factor de $p(x)$ .

5. Observamos. El teorema del factor es un caso particular del teorema del resto: resto cero equivale a división exacta.

Respuesta: sí es factor, porque $p(-1) = 0$

11. Hallá el valor de $k$ para que $(x + 2)$ sea factor de $p(x) = x^2 + kx + 6$ .

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1. Aplicamos el teorema del factor. Para que sea factor, $-2$ tiene que ser raíz: $p(-2) = 0$ .

2. Evaluamos con la incógnita. $(-2)^2 + k(-2) + 6 = 4 - 2k + 6$

3. Igualamos a cero. $10 - 2k = 0$

4. Despejamos. $k = 5$

5. Verificamos. Con ese valor, $p(-2)$ da cero, así que la división es exacta.

Respuesta: $k = 5$

12. Calculá el resto de dividir $p(x) = x^3 + 2x^2 - 5$ por $x + 3$ , y explicá por qué se evalúa en $-3$ y no en $3$ .

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1. Escribimos el divisor en la forma del teorema. El teorema habla de $x - a$ . Acá el divisor es $x + 3$ , que es $x - (-3)$ , así que $a = -3$ .

2. Vemos por qué importa. El teorema sale de evaluar donde el divisor se anula. $x + 3$ se anula en $x = -3$ , no en $x = 3$ .

3. Evaluamos. $p(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5 = -27 + 18 - 5$

4. Terminamos la cuenta. $p(-3) = -14$

5. Señalamos el error típico. Evaluar en $3$ da $p(3) = 27 + 18 - 5 = 40$ , que es el resto de dividir por $x - 3$ : otro problema. Confundir el signo de $a$ es el error más frecuente del tema.

Respuesta: el resto es $-14$ , y se evalúa en $-3$ porque es el valor que anula al divisor $x + 3$

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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