Ejercicios: División y regla de Ruffini

P(x) = Q(x) \cdot C(x) + R(x)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Dividí $p(x) = 4 x^{2} + 3 x - 2$ por $(x + 2)$ usando Ruffini.

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1. Armamos el esquema. Escribimos los coeficientes $4$ , $3$ , $-2$ y a la izquierda el valor $-2$ , que es la raíz del divisor.

2. Bajamos el primer coeficiente. El primero baja tal cual: $4$ .

3. Multiplicamos y sumamos. $4 \cdot (-2) = -8$ , y sumando al siguiente coeficiente queda $3 - 8 = -5$ .

4. Repetimos. $(-5) \cdot (-2) = 10$ , y sumando queda $-2 + 10 = 8$ .

5. Leemos el resultado. El cociente es $4 x - 5$ y el resto es $8$ .

6. Observamos. Ruffini solo sirve cuando el divisor es de la forma $x$ menos un número. Para divisores de grado mayor hay que hacer la división larga.

Respuesta: el cociente es $4 x - 5$ y el resto es $8$

2. Dividí $p(x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 4$ por $(x^2 + 1)$ y verificá el resultado.

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1. Vemos por qué no sirve Ruffini. El divisor tiene grado $2$ , así que hay que hacer la división larga.

2. Dividimos los términos principales. $3 x^{3}$ dividido $x^2$ da $3 x$ , que es el primer término del cociente.

3. Restamos y bajamos. Se multiplica el divisor por ese término, se resta, y se repite con lo que queda.

4. Escribimos el resultado. El cociente es $3 x - 3$ y el resto es $7$ .

5. Verificamos. Multiplicando cociente por divisor y sumando el resto se recupera $p(x)$ .

6. Controlamos el grado del resto. El resto tiene grado menor que el divisor, como corresponde.

Respuesta: el cociente es $3 x - 3$ y el resto es $7$

3. Verificá con Ruffini que $x + 1$ divide exactamente a $p(x) = x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ .

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1. Planteamos qué esperamos. Si la división es exacta, el resto tiene que dar cero, o sea que $-1$ es raíz de $p$ .

2. Aplicamos Ruffini. Con el valor $-1$ a la izquierda, se baja el primer coeficiente y se multiplica y suma sucesivamente.

3. Leemos el resto. El resto es $0$ .

4. Concluimos. El resto da cero, así que la división es exacta y $-1$ es raíz de $p$ .

5. Escribimos la factorización. $p(x) = (x + 1)(x^{2} + 4)$

Respuesta: el resto es $0$ , y $p(x) = (x + 1)(x^{2} + 4)$

4. Explicá por qué en una división de polinomios el resto siempre tiene grado menor que el divisor.

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1. Describimos el algoritmo. En cada paso se divide el término de mayor grado de lo que queda por el término principal del divisor, y se resta.

2. Vemos qué pasa en cada paso. Cada resta elimina el término de mayor grado, así que el grado de lo que queda baja al menos en uno.

3. Vemos cuándo se detiene. El proceso sigue mientras el grado de lo que queda sea mayor o igual al del divisor.

4. Sacamos la conclusión. Se detiene exactamente cuando el grado queda por debajo del divisor, y eso que queda es el resto.

5. Damos el caso conocido. Al dividir por $x$ menos un número, que tiene grado $1$ , el resto tiene grado $0$ : es siempre una constante.

Respuesta: porque el algoritmo se detiene justo cuando el grado baja del grado del divisor

5. Dividí $p(x) = 3 x^{2} - 4 x + 3$ por $(x - 2)$ usando Ruffini.

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1. Armamos el esquema. Escribimos los coeficientes $3$ , $-4$ , $3$ y a la izquierda el valor $2$ , que es la raíz del divisor.

2. Bajamos el primer coeficiente. El primero baja tal cual: $3$ .

3. Multiplicamos y sumamos. $3 \cdot 2 = 6$ , y sumando al siguiente coeficiente queda $-4 + 6 = 2$ .

4. Repetimos. $2 \cdot 2 = 4$ , y sumando queda $3 + 4 = 7$ .

5. Leemos el resultado. El cociente es $3 x + 2$ y el resto es $7$ .

6. Observamos. Ruffini solo sirve cuando el divisor es de la forma $x$ menos un número. Para divisores de grado mayor hay que hacer la división larga.

Respuesta: el cociente es $3 x + 2$ y el resto es $7$

6. Dividí $p(x) = 3 x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ por $(x^2 + 1)$ y verificá el resultado.

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1. Vemos por qué no sirve Ruffini. El divisor tiene grado $2$ , así que hay que hacer la división larga.

2. Dividimos los términos principales. $3 x^{3}$ dividido $x^2$ da $3 x$ , que es el primer término del cociente.

3. Restamos y bajamos. Se multiplica el divisor por ese término, se resta, y se repite con lo que queda.

4. Escribimos el resultado. El cociente es $3 x - 3$ y el resto es $- 2 x$ .

5. Verificamos. Multiplicando cociente por divisor y sumando el resto se recupera $p(x)$ .

6. Controlamos el grado del resto. El resto tiene grado menor que el divisor, como corresponde.

Respuesta: el cociente es $3 x - 3$ y el resto es $- 2 x$

7. Verificá con Ruffini que $x + 1$ divide exactamente a $p(x) = x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ .

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1. Planteamos qué esperamos. Si la división es exacta, el resto tiene que dar cero, o sea que $-1$ es raíz de $p$ .

2. Aplicamos Ruffini. Con el valor $-1$ a la izquierda, se baja el primer coeficiente y se multiplica y suma sucesivamente.

3. Leemos el resto. El resto es $0$ .

4. Concluimos. El resto da cero, así que la división es exacta y $-1$ es raíz de $p$ .

5. Escribimos la factorización. $p(x) = (x + 1)(x^{2} + 2)$

Respuesta: el resto es $0$ , y $p(x) = (x + 1)(x^{2} + 2)$

8. Explicá por qué al dividir un polinomio de grado $7$ por uno de grado $3$ el cociente tiene grado $4$ .

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1. Escribimos la identidad de la división. $p(x) = q(x) \cdot d(x) + r(x)$ , con $p$ de grado $7$ y $d$ de grado $3$ .

2. Miramos el grado del producto. El grado de un producto es la suma de los grados, así que $q \cdot d$ tiene grado igual al grado de $q$ más $3$ .

3. Usamos que el resto no interfiere. El resto tiene grado menor que $3$ , así que sumarlo no puede cambiar el término de mayor grado.

4. Igualamos grados. El grado de $p$ tiene que ser el de $q \cdot d$ : $7 =$ grado de $q$ más $3$ .

5. Despejamos. El grado del cociente es $7 - 3 = 4$ .

6. Generalizamos. El cociente siempre tiene grado igual a la resta de los grados, y si el dividendo tiene grado menor que el divisor el cociente es cero y el resto es el dividendo entero.

Respuesta: porque los grados se restan: $7 - 3 = 4$

9. Dividí $p(x) = 3 x^{2} - 3 x - 4$ por $(x + 3)$ usando Ruffini.

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1. Armamos el esquema. Escribimos los coeficientes $3$ , $-3$ , $-4$ y a la izquierda el valor $-3$ , que es la raíz del divisor.

2. Bajamos el primer coeficiente. El primero baja tal cual: $3$ .

3. Multiplicamos y sumamos. $3 \cdot (-3) = -9$ , y sumando al siguiente coeficiente queda $-3 - 9 = -12$ .

4. Repetimos. $(-12) \cdot (-3) = 36$ , y sumando queda $-4 + 36 = 32$ .

5. Leemos el resultado. El cociente es $3 x - 12$ y el resto es $32$ .

6. Observamos. Ruffini solo sirve cuando el divisor es de la forma $x$ menos un número. Para divisores de grado mayor hay que hacer la división larga.

Respuesta: el cociente es $3 x - 12$ y el resto es $32$

10. Dividí $p(x) = 3 x^{3} + x^{2} - 3 x + 4$ por $(x^2 + 1)$ y verificá el resultado.

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1. Vemos por qué no sirve Ruffini. El divisor tiene grado $2$ , así que hay que hacer la división larga.

2. Dividimos los términos principales. $3 x^{3}$ dividido $x^2$ da $3 x$ , que es el primer término del cociente.

3. Restamos y bajamos. Se multiplica el divisor por ese término, se resta, y se repite con lo que queda.

4. Escribimos el resultado. El cociente es $3 x + 1$ y el resto es $3 - 6 x$ .

5. Verificamos. Multiplicando cociente por divisor y sumando el resto se recupera $p(x)$ .

6. Controlamos el grado del resto. El resto tiene grado menor que el divisor, como corresponde.

Respuesta: el cociente es $3 x + 1$ y el resto es $3 - 6 x$

11. Verificá con Ruffini que $x - 2$ divide exactamente a $p(x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x - 12$ .

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1. Planteamos qué esperamos. Si la división es exacta, el resto tiene que dar cero, o sea que $2$ es raíz de $p$ .

2. Aplicamos Ruffini. Con el valor $2$ a la izquierda, se baja el primer coeficiente y se multiplica y suma sucesivamente.

3. Leemos el resto. El resto es $0$ .

4. Concluimos. El resto da cero, así que la división es exacta y $2$ es raíz de $p$ .

5. Escribimos la factorización. $p(x) = (x - 2)(2 x^{2} + 6)$

Respuesta: el resto es $0$ , y $p(x) = (x - 2)(2 x^{2} + 6)$

12. Explicá por qué la regla de Ruffini solo sirve para dividir por $x - a$ y no por cualquier divisor.

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1. Recordamos qué hace la regla. Ruffini trabaja únicamente con los coeficientes: baja el primero, lo multiplica por $a$ y lo suma al siguiente, y así hasta el final.

2. Vemos de dónde sale ese paso. Ese multiplicar y sumar es exactamente lo que hace la división larga cuando el divisor es $x - a$ : en cada paso se resta un múltiplo del divisor y solo queda un producto por $a$ .

3. Vemos qué se rompe con grado mayor. Si el divisor tiene grado $2$ , cada paso afecta a dos coeficientes a la vez y ya no alcanza con un solo número para representarlo.

4. Vemos qué se rompe si no es mónico. Si el divisor es $2x - 3$ , hay que dividir por el $2$ en cada paso. Se puede arreglar sacando el $2$ como factor común y dividiendo por $x - \dfrac{3}{2}$ , pero después hay que corregir el cociente.

5. Concluimos. Ruffini es la división larga escrita corta para el caso mónico de grado uno. Fuera de ese caso hay que volver a la división larga.

Respuesta: porque el esquema de multiplicar y sumar reproduce la división larga solo cuando el divisor es mónico y de grado uno

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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