División y regla de Ruffini

Dividir polinomios funciona igual que dividir números enteros: se obtiene un cociente y un resto, y el resto tiene grado menor que el divisor.

El algoritmo general es la división larga, que se hace igual que con números pero trabajando con términos.

Cuando el divisor es de la forma variable menos un número, hay un atajo mucho más rápido: la regla de Ruffini.

Se escriben los coeficientes en una fila y se va bajando y multiplicando por el número, sumando en cada paso. El último resultado es el resto y los anteriores son los coeficientes del cociente.

Hay que escribir todos los coeficientes, incluidos los ceros de los grados que faltan. Saltearse un grado ausente es el error más frecuente y desplaza todo el resultado.

El signo también confunde: si el divisor es la variable más un número, en Ruffini se usa ese número con signo cambiado.

Ruffini es la herramienta que se usa para factorizar una vez que se conoce una raíz.

P(x) = Q(x) \cdot C(x) + R(x)

Cuándo se usa

Cuando el divisor es de grado uno. Escribí todos los coeficientes incluyendo los ceros de los grados que faltan, y usá el opuesto del término independiente del divisor.

Ejemplo 1

Dividir $x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6$ por $x - 2$ con Ruffini.

Escribimos los coeficientes y el valor de a. Coeficientes $1, -2, 3, -6$ y $a = 2$ .
Aplicamos la regla. Bajamos el $1$ . Después $1 \cdot 2 - 2 = 0$ , $0 \cdot 2 + 3 = 3$ y $3 \cdot 2 - 6 = 0$ .
Leemos el resultado. El cociente es $x^{2} + 3$ y el resto es $0$ . Verificamos: $(x - 2)(x^{2} + 3) = x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6$ .
Respuesta: cociente $x^{2} + 3$ , resto $0$

Ejemplo 2

Dividir $2x^{3} - x + 5$ por $x + 1$ .

Completamos con ceros y leemos a. Coeficientes $2, 0, -1, 5$ , porque falta el término en $x^{2}$ . Y $a = -1$ .
Aplicamos la regla. $2$ , después $2 \cdot (-1) = -2$ , $-2 \cdot (-1) - 1 = 1$ y $1 \cdot (-1) + 5 = 4$ .
Leemos el resultado. El cociente es $2x^{2} - 2x + 1$ y el resto es $4$ .
Respuesta: cociente $2x^{2} - 2x + 1$ , resto $4$

Error típico

Poner mal el signo de a. Para dividir por $x + 3$ el valor es $a = -3$ , no $3$ . Ese error hace que el resto salga distinto sin que nada avise.

Practicar

← Polinomios y sus operaciones Teorema del resto y del factor →

Otros subtemas de Números complejos y polinomios

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .