Forma exponencial

La forma exponencial escribe un complejo como el módulo multiplicado por una exponencial cuyo exponente es la unidad imaginaria por el argumento.

Viene de la fórmula de Euler, que conecta la exponencial compleja con el seno y el coseno. Es una de las identidades más importantes de la matemática.

No es una notación distinta de la polar: es la misma información escrita de otra forma. Pero esa forma hace que las operaciones se parezcan a las de las potencias comunes.

Multiplicar dos complejos en forma exponencial es multiplicar los módulos y sumar los exponentes, exactamente la regla de las potencias. Dividir es dividir módulos y restar exponentes.

Elevar a una potencia es elevar el módulo y multiplicar el exponente, y de ahí sale directamente la fórmula de De Moivre.

El caso particular más famoso es cuando el argumento vale media vuelta: ahí la exponencial da menos uno, y esa identidad relaciona cinco de las constantes fundamentales.

En esta forma el argumento siempre va en radianes, sin excepción.

z = r e

(i\theta )

Cuándo se usa

Cuando hay que operar con potencias o raíces de complejos. Las reglas son las mismas de las potencias comunes: multiplicar suma exponentes y elevar los multiplica. Siempre en radianes.

Ejemplo 1

Escribir $z = 1 + i$ en forma exponencial.

Recuperamos módulo y argumento. $|z| = \sqrt{2}$ y $\theta = 45^{\circ}$ .
Pasamos el ángulo a radianes. $45^{\circ} = \pi /4$ , porque $180^{\circ}$ son $\pi$ .
Escribimos la forma exponencial. $z = \sqrt{2} e^(i\pi /4)$ .
Respuesta: $\sqrt{2} e^(i\pi /4)$

Ejemplo 2

Escribir $z = 3 e^(i\pi )$ en forma binómica.

Aplicamos la fórmula de Euler. $e^(i\pi ) = \cos \pi + i \operatorname{sen} \pi$ .
Reemplazamos los valores. $\cos \pi = -1$ y $\operatorname{sen} \pi = 0$ .
Distribuimos el módulo. $3 \cdot (-1) = -3$ , así que $z = -3$ , un número real.
Respuesta: $z = -3$

Error típico

Mezclar grados y radianes. En la forma exponencial el argumento va en radianes. Escribir e^ $(i45)$ en lugar de e^ $(i\pi /4)$ da otro número, porque $45$ radianes son muchas vueltas.

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