Método

Ejercicios: Forma exponencial

z=rez = r e^(iθ)(i\theta )

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Escribí en forma exponencial el complejo de módulo 77 y argumento 90∘90^\circ.

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1. Recordamos la fórmula de Euler. La forma exponencial escribe el complejo como el módulo por una exponencial cuyo exponente es la unidad imaginaria por el argumento.

2. Pasamos el ángulo a radianes. 90∘=π290^\circ = \dfrac{\pi}{2} radianes.

3. Escribimos la forma exponencial. z=7eiπ/2z = 7e^{i\pi/2}

4. Verificamos la equivalencia. Es lo mismo que 7(cos⁡90∘+isen⁡90∘)7(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ), solo que escrito más compacto.

5. Observamos. El exponente siempre va en radianes, no en grados. Es el error más común al escribir la forma exponencial.

Respuesta: z=7eiπ/2z = 7e^{i\pi/2}

2. Verificá la identidad de Euler eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0.

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1. Aplicamos la fórmula de Euler. eiπ=cos⁡π+isen⁡πe^{i\pi} = \cos \pi + i\operatorname{sen} \pi

2. Calculamos los valores. cos⁡π=−1\cos \pi = -1 y sen⁡π=0\operatorname{sen} \pi = 0.

3. Reemplazamos. eiπ=−1+0i=−1e^{i\pi} = -1 + 0i = -1

4. Sumamos uno. eiπ+1=−1+1=0e^{i\pi} + 1 = -1 + 1 = 0

5. Interpretamos. Geométricamente, eiπe^{i\pi} es el punto de módulo uno y ángulo 180∘180^\circ: exactamente el −1-1 del eje real.

Respuesta: se verifica: eiπ=−1e^{i\pi} = -1, así que eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

3. Multiplicá 2ei45∘2e^{i45^\circ} por 2ei60∘2e^{i60^\circ} usando la forma exponencial.

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1. Aplicamos la propiedad de las exponenciales. Al multiplicar potencias de la misma base los exponentes se suman.

2. Multiplicamos los módulos. 2⋅2=42 \cdot 2 = 4

3. Sumamos los argumentos. 45∘+60∘=105∘45^\circ + 60^\circ = 105^\circ

4. Escribimos el resultado. 4ei105∘4e^{i105^\circ}

5. Observamos. La forma exponencial hace evidente por qué al multiplicar los módulos se multiplican y los argumentos se suman: es una simple propiedad de potencias.

Respuesta: 4ei105∘4e^{i105^\circ}

4. Explicá qué representa geométricamente multiplicar un complejo por ei60∘e^{i60^\circ}.

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1. Miramos el módulo del factor. ∣ei60∘∣=1|e^{i60^\circ}| = 1, porque es un punto de la circunferencia unitaria.

2. Vemos qué pasa al multiplicar módulos. Como el módulo del factor es uno, el módulo del resultado es igual al del complejo original: no cambia.

3. Vemos qué pasa con los argumentos. Los argumentos se suman, así que el argumento aumenta en 60∘60^\circ.

4. Concluimos. Multiplicar por ei60∘e^{i60^\circ} rota el complejo 60∘60^\circ alrededor del origen, sin cambiar su distancia.

5. Damos un caso conocido. Multiplicar por ii, que es ei90∘e^{i90^\circ}, rota exactamente un cuarto de vuelta.

Respuesta: representa una rotación de 60∘60^\circ alrededor del origen, sin cambiar el módulo

5. Escribí en forma exponencial el complejo de módulo 77 y argumento 30∘30^\circ.

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1. Recordamos la fórmula de Euler. La forma exponencial escribe el complejo como el módulo por una exponencial cuyo exponente es la unidad imaginaria por el argumento.

2. Pasamos el ángulo a radianes. 30∘=π630^\circ = \dfrac{\pi}{6} radianes.

3. Escribimos la forma exponencial. z=7eiπ/6z = 7e^{i\pi/6}

4. Verificamos la equivalencia. Es lo mismo que 7(cos⁡30∘+isen⁡30∘)7(\cos 30^\circ + i\operatorname{sen} 30^\circ), solo que escrito más compacto.

5. Observamos. El exponente siempre va en radianes, no en grados. Es el error más común al escribir la forma exponencial.

Respuesta: z=7eiπ/6z = 7e^{i\pi/6}

6. Verificá que eiπ/2=ie^{i\pi/2} = i.

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1. Aplicamos la fórmula de Euler. eiπ/2=cos⁡π2+isen⁡π2e^{i\pi/2} = \cos \dfrac{\pi}{2} + i\operatorname{sen} \dfrac{\pi}{2}

2. Calculamos los valores. cos⁡π2=0\cos \dfrac{\pi}{2} = 0 y sen⁡π2=1\operatorname{sen} \dfrac{\pi}{2} = 1.

3. Reemplazamos. eiπ/2=0+i=ie^{i\pi/2} = 0 + i = i

4. Interpretamos. El ángulo π2\dfrac{\pi}{2} son 90∘90^\circ: el punto de módulo uno sobre el semieje imaginario positivo, que es ii.

5. Sacamos una consecuencia. Multiplicar por ii es multiplicar por eiπ/2e^{i\pi/2}, o sea rotar 90∘90^\circ sin cambiar el módulo.

Respuesta: se verifica: eiπ/2=cos⁡90∘+isen⁡90∘=ie^{i\pi/2} = \cos 90^\circ + i \operatorname{sen} 90^\circ = i

7. Multiplicá 4ei30∘4e^{i30^\circ} por 2ei30∘2e^{i30^\circ} usando la forma exponencial.

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1. Aplicamos la propiedad de las exponenciales. Al multiplicar potencias de la misma base los exponentes se suman.

2. Multiplicamos los módulos. 4⋅2=84 \cdot 2 = 8

3. Sumamos los argumentos. 30∘+30∘=60∘30^\circ + 30^\circ = 60^\circ

4. Escribimos el resultado. 8ei60∘8e^{i60^\circ}

5. Observamos. La forma exponencial hace evidente por qué al multiplicar los módulos se multiplican y los argumentos se suman: es una simple propiedad de potencias.

Respuesta: 8ei60∘8e^{i60^\circ}

8. Explicá qué representa geométricamente multiplicar un complejo por ei120∘e^{i120^\circ}.

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1. Miramos el módulo del factor. ∣ei120∘∣=1|e^{i120^\circ}| = 1, porque es un punto de la circunferencia unitaria.

2. Vemos qué pasa al multiplicar módulos. Como el módulo del factor es uno, el módulo del resultado es igual al del complejo original: no cambia.

3. Vemos qué pasa con los argumentos. Los argumentos se suman, así que el argumento aumenta en 120∘120^\circ.

4. Concluimos. Multiplicar por ei120∘e^{i120^\circ} rota el complejo 120∘120^\circ alrededor del origen, sin cambiar su distancia.

5. Damos un caso conocido. Multiplicar por ii, que es ei90∘e^{i90^\circ}, rota exactamente un cuarto de vuelta.

Respuesta: representa una rotación de 120∘120^\circ alrededor del origen, sin cambiar el módulo

9. Escribí en forma exponencial el complejo de módulo 66 y argumento 0∘0^\circ.

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1. Recordamos la fórmula de Euler. La forma exponencial escribe el complejo como el módulo por una exponencial cuyo exponente es la unidad imaginaria por el argumento.

2. Pasamos el ángulo a radianes. 0∘=00^\circ = 0 radianes.

3. Escribimos la forma exponencial. z=6z = 6

4. Verificamos la equivalencia. Es lo mismo que 6(cos⁡0∘+isen⁡0∘)6(\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ), solo que escrito más compacto.

5. Observamos el caso particular. Con argumento 0∘0^\circ el exponente es cero y e0=1e^{0} = 1, así que la forma exponencial se reduce al número real 66.

Respuesta: z=6z = 6

10. Verificá que e2πi=1e^{2\pi i} = 1 y explicá qué dice eso sobre la forma exponencial.

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1. Aplicamos la fórmula de Euler. e2πi=cos⁡2π+isen⁡2πe^{2\pi i} = \cos 2\pi + i\operatorname{sen} 2\pi

2. Calculamos los valores. cos⁡2π=1\cos 2\pi = 1 y sen⁡2π=0\operatorname{sen} 2\pi = 0.

3. Reemplazamos. e2πi=1+0i=1e^{2\pi i} = 1 + 0i = 1

4. Interpretamos. 2π2\pi es una vuelta completa: se termina en el mismo punto de partida, el 11 del eje real.

5. Sacamos la consecuencia importante. Como e2πi=1e^{2\pi i} = 1, vale eiθ=ei(θ+2π)e^{i\theta} = e^{i(\theta + 2\pi)}. La forma exponencial no es única: el argumento queda definido a menos de vueltas enteras.

Respuesta: se verifica: e2πi=1e^{2\pi i} = 1, y por eso el argumento de un complejo queda definido a menos de vueltas completas

11. Multiplicá 2ei30∘2e^{i30^\circ} por 2ei60∘2e^{i60^\circ} usando la forma exponencial.

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1. Aplicamos la propiedad de las exponenciales. Al multiplicar potencias de la misma base los exponentes se suman.

2. Multiplicamos los módulos. 2⋅2=42 \cdot 2 = 4

3. Sumamos los argumentos. 30∘+60∘=90∘30^\circ + 60^\circ = 90^\circ

4. Escribimos el resultado. 4ei90∘4e^{i90^\circ}

5. Observamos. La forma exponencial hace evidente por qué al multiplicar los módulos se multiplican y los argumentos se suman: es una simple propiedad de potencias.

Respuesta: 4ei90∘4e^{i90^\circ}

12. Explicá qué representa geométricamente multiplicar un complejo por ei180∘e^{i180^\circ}.

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1. Miramos el módulo del factor. ∣ei180∘∣=1|e^{i180^\circ}| = 1, porque es un punto de la circunferencia unitaria.

2. Vemos qué pasa al multiplicar módulos. Como el módulo del factor es uno, el módulo del resultado es igual al del complejo original: no cambia.

3. Vemos qué pasa con los argumentos. Los argumentos se suman, así que el argumento aumenta en 180∘180^\circ.

4. Concluimos. Multiplicar por ei180∘e^{i180^\circ} rota el complejo 180∘180^\circ alrededor del origen, sin cambiar su distancia.

5. Damos un caso conocido. Multiplicar por ii, que es ei90∘e^{i90^\circ}, rota exactamente un cuarto de vuelta.

Respuesta: representa una rotación de 180∘180^\circ alrededor del origen, sin cambiar el módulo

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