Ejercicios: Forma polar

z = r (\cos \theta + i \operatorname{sen} \theta )

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Escribí en forma polar el complejo de módulo $8$ y argumento $270^\circ$ , y pasalo a binómica.

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1. Escribimos la forma polar. $z = 8(\cos 270^\circ + i\operatorname{sen} 270^\circ)$

2. Calculamos el coseno. $\cos 270^\circ = 0$

3. Calculamos el seno. $\operatorname{sen} 270^\circ = -1$

4. Multiplicamos por el módulo. $z = 0 - 8i$

5. Verificamos. El módulo del resultado tiene que dar $8$ , y da.

Respuesta: $z = 8(\cos 270^\circ + i\operatorname{sen} 270^\circ)$

2. Pasá $z = 2 - i$ a forma polar.

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1. Calculamos el módulo. $r = |z| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}2361$

2. Calculamos el argumento. $\theta = \arctan\left(\dfrac{-1}{2}\right)$ , ubicándolo en el cuadrante correcto.

3. Identificamos el cuadrante. La parte real es positiva y la imaginaria negativa, así que $z$ está en el cuarto cuadrante.

4. Escribimos el argumento. $\theta \approx -26{,}57^\circ$

5. Armamos la forma polar. $z \approx 2{,}2361(\cos -26{,}57^\circ + i\operatorname{sen} -26{,}57^\circ)$

Respuesta: $r = \sqrt{5} \approx 2{,}2361$ y $\theta \approx -26{,}57^\circ$

3. Escribí en forma polar el número real $2$ y el imaginario puro $2i$ .

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1. Analizamos el número real. El punto $(2; 0)$ está sobre el semieje real positivo, así que su argumento es $0^\circ$ .

2. Escribimos su forma polar. $2 = 2(\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ)$

3. Analizamos el imaginario puro. El punto $(0; 2)$ está sobre el semieje imaginario positivo, así que su argumento es $90^\circ$ .

4. Escribimos su forma polar. $2i = 2(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$

5. Observamos. Los dos tienen el mismo módulo. Lo único que los distingue es el argumento, o sea la dirección.

Respuesta: $2 = 2(\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ)$ y $2i = 2(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$

4. Un complejo tiene módulo $5$ y argumento $135^\circ$ . Hallá el módulo y el argumento de su conjugado.

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1. Recordamos qué hace el conjugado. Conjugar refleja el punto respecto del eje real.

2. Vemos qué pasa con el módulo. Reflejar no cambia la distancia al origen, así que el módulo se mantiene en $5$ .

3. Vemos qué pasa con el argumento. El ángulo queda del otro lado del eje real, así que cambia de signo: $-135^\circ$ .

4. Escribimos una forma equivalente. También se puede escribir como $225^\circ$ , sumando una vuelta completa.

5. Observamos. El argumento no es único: sumarle vueltas completas da el mismo número complejo.

Respuesta: el módulo sigue siendo $5$ y el argumento pasa a $-135^\circ$

5. Escribí en forma polar el complejo de módulo $4$ y argumento $180^\circ$ , y pasalo a binómica.

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1. Escribimos la forma polar. $z = 4(\cos 180^\circ + i\operatorname{sen} 180^\circ)$

2. Calculamos el coseno. $\cos 180^\circ = -1$

3. Calculamos el seno. $\operatorname{sen} 180^\circ = 0$

4. Multiplicamos por el módulo. $z = -4 + 0i$

5. Verificamos. El módulo del resultado tiene que dar $4$ , y da.

Respuesta: $z = 4(\cos 180^\circ + i\operatorname{sen} 180^\circ)$

6. Pasá $z = 1 + 3i$ a forma polar.

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1. Calculamos el módulo. $r = |z| = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}1623$

2. Calculamos el argumento. $\theta = \arctan\left(\dfrac{3}{1}\right)$ , ubicándolo en el cuadrante correcto.

3. Identificamos el cuadrante. La parte real es positiva y la imaginaria positiva, así que $z$ está en el primer cuadrante.

4. Escribimos el argumento. $\theta \approx 71{,}57^\circ$

5. Armamos la forma polar. $z \approx 3{,}1623(\cos 71{,}57^\circ + i\operatorname{sen} 71{,}57^\circ)$

Respuesta: $r = \sqrt{10} \approx 3{,}1623$ y $\theta \approx 71{,}57^\circ$

7. Escribí en forma polar el número real $5$ y el imaginario puro $5i$ .

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1. Analizamos el número real. El punto $(5; 0)$ está sobre el semieje real positivo, así que su argumento es $0^\circ$ .

2. Escribimos su forma polar. $5 = 5(\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ)$

3. Analizamos el imaginario puro. El punto $(0; 5)$ está sobre el semieje imaginario positivo, así que su argumento es $90^\circ$ .

4. Escribimos su forma polar. $5i = 5(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$

5. Observamos. Los dos tienen el mismo módulo. Lo único que los distingue es el argumento, o sea la dirección.

Respuesta: $5 = 5(\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ)$ y $5i = 5(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$

8. Un complejo tiene módulo $4$ y argumento $30^\circ$ . Hallá el módulo y el argumento de su conjugado.

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1. Recordamos qué hace el conjugado. Conjugar refleja el punto respecto del eje real.

2. Vemos qué pasa con el módulo. Reflejar no cambia la distancia al origen, así que el módulo se mantiene en $4$ .

3. Vemos qué pasa con el argumento. El ángulo queda del otro lado del eje real, así que cambia de signo: $-30^\circ$ .

4. Escribimos una forma equivalente. También se puede escribir como $330^\circ$ , sumando una vuelta completa.

5. Observamos. El argumento no es único: sumarle vueltas completas da el mismo número complejo.

Respuesta: el módulo sigue siendo $4$ y el argumento pasa a $-30^\circ$

9. Escribí en forma polar el complejo de módulo $2$ y argumento $225^\circ$ , y pasalo a binómica.

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1. Escribimos la forma polar. $z = 2(\cos 225^\circ + i\operatorname{sen} 225^\circ)$

2. Calculamos el coseno. $\cos 225^\circ = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

3. Calculamos el seno. $\operatorname{sen} 225^\circ = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

4. Multiplicamos por el módulo. $z = - \sqrt{2} - \sqrt{2}i$

5. Verificamos. El módulo del resultado tiene que dar $2$ , y da.

Respuesta: $z = 2(\cos 225^\circ + i\operatorname{sen} 225^\circ)$

10. Pasá $z = 2 - 2i$ a forma polar.

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1. Calculamos el módulo. $r = |z| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2{,}8284$

2. Calculamos el argumento. $\theta = \arctan\left(\dfrac{-2}{2}\right)$ , ubicándolo en el cuadrante correcto.

3. Identificamos el cuadrante. La parte real es positiva y la imaginaria negativa, así que $z$ está en el cuarto cuadrante.

4. Escribimos el argumento. $\theta \approx -45^\circ$

5. Armamos la forma polar. $z \approx 2{,}8284(\cos -45^\circ + i\operatorname{sen} -45^\circ)$

Respuesta: $r = \sqrt{8} \approx 2{,}8284$ y $\theta \approx -45^\circ$

11. Escribí en forma polar el número real $3$ y el imaginario puro $3i$ .

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1. Analizamos el número real. El punto $(3; 0)$ está sobre el semieje real positivo, así que su argumento es $0^\circ$ .

2. Escribimos su forma polar. $3 = 3(\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ)$

3. Analizamos el imaginario puro. El punto $(0; 3)$ está sobre el semieje imaginario positivo, así que su argumento es $90^\circ$ .

4. Escribimos su forma polar. $3i = 3(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$

5. Observamos. Los dos tienen el mismo módulo. Lo único que los distingue es el argumento, o sea la dirección.

Respuesta: $3 = 3(\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ)$ y $3i = 3(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$

12. Un complejo tiene módulo $5$ y argumento $60^\circ$ . Hallá el módulo y el argumento de su conjugado.

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1. Recordamos qué hace el conjugado. Conjugar refleja el punto respecto del eje real.

2. Vemos qué pasa con el módulo. Reflejar no cambia la distancia al origen, así que el módulo se mantiene en $5$ .

3. Vemos qué pasa con el argumento. El ángulo queda del otro lado del eje real, así que cambia de signo: $-60^\circ$ .

4. Escribimos una forma equivalente. También se puede escribir como $300^\circ$ , sumando una vuelta completa.

5. Observamos. El argumento no es único: sumarle vueltas completas da el mismo número complejo.

Respuesta: el módulo sigue siendo $5$ y el argumento pasa a $-60^\circ$

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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