Forma polar

La forma polar describe un complejo por su distancia al origen y el ángulo que forma con el eje positivo, en vez de por sus dos componentes.

El módulo es esa distancia y el argumento es ese ángulo. Con esos dos datos el complejo queda determinado.

Para pasar de binómica a polar se calcula el módulo con Pitágoras y el argumento con el arcotangente del cociente entre la parte imaginaria y la real.

El arcotangente no distingue cuadrantes, así que hay que mirar los signos de las dos partes y corregir. Ese es el error más frecuente del tema.

El argumento no es único: sumarle una vuelta completa da el mismo complejo. Por eso se define el argumento principal, que es el que está entre menos ciento ochenta y ciento ochenta grados.

La forma polar es incómoda para sumar pero muy cómoda para multiplicar, dividir y elevar a potencias. Esa es toda la razón por la que existe.

Conviene trabajar en radianes, sobre todo cuando aparece la forma exponencial.

z = r (\cos \theta + i \operatorname{sen} \theta )

Cuándo se usa

Cuando hay que multiplicar, dividir o elevar complejos a potencias altas. Para pasar a polar, calculá el módulo y el argumento, mirando el cuadrante antes de dar el ángulo.

Ejemplo 1

Escribir $z = 1 + i$ en forma polar.

Calculamos el módulo. $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ .
Calculamos el argumento. La tangente es $1$ y las dos partes son positivas: primer cuadrante, $\theta = 45^{\circ}$ .
Escribimos la forma polar. $z = \sqrt{2} (\cos 45^{\circ} + i \operatorname{sen} 45^{\circ})$ .
Respuesta: $\sqrt{2} (\cos 45^{\circ} + i \operatorname{sen} 45^{\circ})$

Ejemplo 2

Escribir $z = 2(\cos 60^{\circ} + i \operatorname{sen} 60^{\circ})$ en forma binómica.

Reemplazamos los valores conocidos. $\cos 60^{\circ} = 1/2$ y $\operatorname{sen} 60^{\circ} = \sqrt{3}/2$ .
Distribuimos el módulo. $2 \cdot (1/2) = 1$ y $2 \cdot (\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}$ .
Escribimos el resultado. $z = 1 + \sqrt{3} i$ . Control: su módulo es $\sqrt{1 + 3} = 2$ , que es el que teníamos.
Respuesta: $z = 1 + \sqrt{3} i$

Error típico

Aceptar el ángulo que devuelve la calculadora sin mirar el cuadrante. Para $-1 - i$ la tangente da $1 y$ la calculadora contesta $45^{\circ}$ , pero el número está en el tercer cuadrante y su argumento es $225^{\circ}$ .

Practicar

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