Fórmula de De Moivre

De Moivre dice que para elevar un complejo a una potencia entera se eleva el módulo y se multiplica el argumento por el exponente.

Sale directamente de la regla del producto en polar aplicada varias veces, y convierte un cálculo larguísimo en dos operaciones.

Elevar a la potencia diez en forma binómica requiere nueve multiplicaciones con distribución. En polar es elevar un número y multiplicar un ángulo.

El argumento resultante suele quedar muy grande, con varias vueltas incluidas. Se le restan vueltas completas hasta volver al rango principal, y eso no cambia el complejo.

La fórmula también sirve al revés, para deducir identidades trigonométricas. Desarrollando el lado binómico e igualando partes reales e imaginarias salen las fórmulas del seno y el coseno del ángulo doble o triple.

Vale para exponentes enteros, incluidos los negativos. Para exponentes fraccionarios el resultado no es único, y eso lleva al tema de las raíces.

z^{n} = r^{n} (\cos n\theta + i \operatorname{sen} n\theta )

Cuándo se usa

Cuando hay que elevar un complejo a una potencia mayor que dos o tres. Pasá a polar, elevá el módulo y multiplicá el argumento. Al final restá vueltas completas para simplificar el ángulo.

Ejemplo 1

Calcular $(1 + i)^{8}$ .

Pasamos a polar. El módulo es $\sqrt{2}$ y el argumento $45^{\circ}$ .
Aplicamos De Moivre. El módulo queda $(\sqrt{2})^{8} = 16$ y el argumento $8 \cdot 45^{\circ} = 360^{\circ}$ .
Volvemos a binómica. $\cos 360^{\circ} = 1$ y $\operatorname{sen} 360^{\circ} = 0$ , así que el resultado es $16$ .
Respuesta: $(1 + i)^{8} = 16$

Ejemplo 2

Calcular $(2(\cos 30^{\circ} + i \operatorname{sen} 30^{\circ}))^{3}$ .

Elevamos el módulo. $2^{3} = 8$ .
Multiplicamos el argumento. $3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ}$ .
Escribimos el resultado. $8(\cos 90^{\circ} + i \operatorname{sen} 90^{\circ}) = 8i$ .
Respuesta: $8i$

Error típico

Elevar el módulo y olvidarse de multiplicar el argumento, o al revés. La fórmula hace las dos cosas: una potencia sobre el módulo y un producto sobre el ángulo.

Practicar

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