Método

Ejercicios: Fórmula de De Moivre

zn=rn(cos⁡nθ+isen⁡nθ)z^{n} = r^{n} (\cos n\theta + i \operatorname{sen} n\theta )

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá [3(cos⁡60∘+isen⁡60∘)]2[3(\cos 60^\circ + i\operatorname{sen} 60^\circ)]^{2} usando De Moivre.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. De Moivre dice que para elevar a una potencia entera se eleva el módulo y se multiplica el argumento por el exponente.

2. Elevamos el módulo. 32=93^{2} = 9

3. Multiplicamos el argumento. 2⋅60∘=120∘2 \cdot 60^\circ = 120^\circ

4. Escribimos el resultado. 9(cos⁡120∘+isen⁡120∘)9(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)

5. Observamos. Sale directamente de aplicar la regla del producto varias veces con el mismo número.

Respuesta: 9(cos⁡120∘+isen⁡120∘)9(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)

2. Calculá (1+i)8(1 + i)^{8} pasando primero a forma polar.

Ver solución

1. Pasamos a polar. ∣1+i∣=2|1 + i| = \sqrt{2} y su argumento es 45∘45^\circ, porque está sobre la bisectriz del primer cuadrante.

2. Aplicamos De Moivre. El módulo queda (2)8=16(\sqrt{2})^{8} = 16 y el argumento 8⋅45∘=360∘8 \cdot 45^\circ = 360^\circ.

3. Reducimos el argumento. 360∘360^\circ equivale a 0∘0^\circ después de restar 11 vuelta completa.

4. Escribimos en polar. 16(cos⁡0∘+isen⁡0∘)16(\cos 0^\circ + i\operatorname{sen} 0^\circ)

5. Pasamos a binómica. El resultado es 1616.

6. Observamos. Hacer esta potencia en binómica exigiría desarrollar un binomio de grado 8. En polar son dos cuentas.

Respuesta: (1+i)8=16(1+i)^{8} = 16

3. Calculá i7i^{7} usando De Moivre y compará con el método del ciclo.

Ver solución

1. Pasamos ii a polar. ∣i∣=1|i| = 1 y su argumento es 90∘90^\circ.

2. Aplicamos De Moivre. El módulo queda 17=11^{7} = 1 y el argumento 7⋅90∘=630∘7 \cdot 90^\circ = 630^\circ.

3. Reducimos. 630∘630^\circ equivale a 270∘270^\circ: se le resta una vuelta completa.

4. Escribimos el resultado. cos⁡270∘+isen⁡270∘=−i\cos 270^\circ + i\operatorname{sen} 270^\circ = - i

5. Comparamos con el ciclo. El método del resto dividiendo por cuatro da lo mismo. De Moivre es la explicación de por qué ese ciclo existe: cada potencia rota 90∘90^\circ más.

Respuesta: i7=−ii^{7} = - i

4. Usando De Moivre con n=2n = 2, deducí las fórmulas del coseno y el seno del ángulo doble.

Ver solución

1. Planteamos los dos lados. Por De Moivre, (cos⁡θ+isen⁡θ)2=cos⁡2θ+isen⁡2θ(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)^2 = \cos 2\theta + i\operatorname{sen} 2\theta.

2. Desarrollamos el lado izquierdo. cos⁡2θ+2icos⁡θsen⁡θ+i2sen⁡2θ\cos^2\theta + 2i\cos\theta\operatorname{sen}\theta + i^2\operatorname{sen}^2\theta

3. Reemplazamos i2i^2 y agrupamos. (cos⁡2θ−sen⁡2θ)+i(2cos⁡θsen⁡θ)(\cos^2\theta - \operatorname{sen}^2\theta) + i(2\cos\theta\operatorname{sen}\theta)

4. Igualamos parte por parte. cos⁡2θ=cos⁡2θ−sen⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2\theta - \operatorname{sen}^2\theta y sen⁡2θ=2cos⁡θsen⁡θ\operatorname{sen} 2\theta = 2\cos\theta\operatorname{sen}\theta

5. Observamos. Es una aplicación elegante: los complejos permiten deducir identidades trigonométricas sin razonamiento geométrico.

Respuesta: cos⁡2θ=cos⁡2θ−sen⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2\theta - \operatorname{sen}^2\theta y sen⁡2θ=2cos⁡θsen⁡θ\operatorname{sen} 2\theta = 2\cos\theta\operatorname{sen}\theta

5. Calculá [4(cos⁡60∘+isen⁡60∘)]3[4(\cos 60^\circ + i\operatorname{sen} 60^\circ)]^{3} usando De Moivre.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. De Moivre dice que para elevar a una potencia entera se eleva el módulo y se multiplica el argumento por el exponente.

2. Elevamos el módulo. 43=644^{3} = 64

3. Multiplicamos el argumento. 3⋅60∘=180∘3 \cdot 60^\circ = 180^\circ

4. Escribimos el resultado. 64(cos⁡180∘+isen⁡180∘)64(\cos 180^\circ + i\operatorname{sen} 180^\circ)

5. Observamos. Sale directamente de aplicar la regla del producto varias veces con el mismo número.

Respuesta: 64(cos⁡180∘+isen⁡180∘)64(\cos 180^\circ + i\operatorname{sen} 180^\circ)

6. Calculá (1+i)4(1 + i)^{4} pasando primero a forma polar.

Ver solución

1. Pasamos a polar. ∣1+i∣=2|1 + i| = \sqrt{2} y su argumento es 45∘45^\circ, porque está sobre la bisectriz del primer cuadrante.

2. Aplicamos De Moivre. El módulo queda (2)4=4(\sqrt{2})^{4} = 4 y el argumento 4⋅45∘=180∘4 \cdot 45^\circ = 180^\circ.

3. Reducimos el argumento. 180∘180^\circ es menor que una vuelta, así que queda igual.

4. Escribimos en polar. 4(cos⁡180∘+isen⁡180∘)4(\cos 180^\circ + i\operatorname{sen} 180^\circ)

5. Pasamos a binómica. El resultado es −4-4.

6. Observamos. Hacer esta potencia en binómica exigiría desarrollar un binomio de grado 4. En polar son dos cuentas.

Respuesta: (1+i)4=−4(1+i)^{4} = -4

7. Calculá i3i^{3} usando De Moivre y compará con el método del ciclo.

Ver solución

1. Pasamos ii a polar. ∣i∣=1|i| = 1 y su argumento es 90∘90^\circ.

2. Aplicamos De Moivre. El módulo queda 13=11^{3} = 1 y el argumento 3⋅90∘=270∘3 \cdot 90^\circ = 270^\circ.

3. Reducimos. 270∘270^\circ es menor que una vuelta, así que queda igual.

4. Escribimos el resultado. cos⁡270∘+isen⁡270∘=−i\cos 270^\circ + i\operatorname{sen} 270^\circ = - i

5. Comparamos con el ciclo. El método del resto dividiendo por cuatro da lo mismo. De Moivre es la explicación de por qué ese ciclo existe: cada potencia rota 90∘90^\circ más.

Respuesta: i3=−ii^{3} = - i

8. Usando De Moivre con n=3n = 3, deducí las fórmulas del coseno y el seno del ángulo triple.

Ver solución

1. Planteamos los dos lados. Por De Moivre, (cos⁡θ+isen⁡θ)3=cos⁡3θ+isen⁡3θ(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)^3 = \cos 3\theta + i\operatorname{sen} 3\theta.

2. Desarrollamos el cubo con el binomio. cos⁡3θ+3icos⁡2θsen⁡θ+3i2cos⁡θsen⁡2θ+i3sen⁡3θ\cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta + 3i^2\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta + i^3\operatorname{sen}^3\theta

3. Reemplazamos las potencias de ii. Con i2=−1i^2 = -1 e i3=−ii^3 = -i queda cos⁡3θ+3icos⁡2θsen⁡θ−3cos⁡θsen⁡2θ−isen⁡3θ\cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta - 3\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta - i\operatorname{sen}^3\theta.

4. Agrupamos parte real e imaginaria. (cos⁡3θ−3cos⁡θsen⁡2θ)+i(3cos⁡2θsen⁡θ−sen⁡3θ)(\cos^3\theta - 3\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta) + i(3\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta - \operatorname{sen}^3\theta)

5. Igualamos parte por parte. cos⁡3θ=cos⁡3θ−3cos⁡θsen⁡2θ\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta y sen⁡3θ=3cos⁡2θsen⁡θ−sen⁡3θ\operatorname{sen} 3\theta = 3\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta - \operatorname{sen}^3\theta

6. Verificamos con un caso conocido. Con θ=0∘\theta = 0^\circ da cos⁡0∘=1\cos 0^\circ = 1 y sen⁡0∘=0\operatorname{sen} 0^\circ = 0, como corresponde.

Respuesta: cos⁡3θ=cos⁡3θ−3cos⁡θsen⁡2θ\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\operatorname{sen}^2\theta y sen⁡3θ=3cos⁡2θsen⁡θ−sen⁡3θ\operatorname{sen} 3\theta = 3\cos^2\theta\operatorname{sen}\theta - \operatorname{sen}^3\theta

9. Calculá [2(cos⁡60∘+isen⁡60∘)]2[2(\cos 60^\circ + i\operatorname{sen} 60^\circ)]^{2} usando De Moivre.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. De Moivre dice que para elevar a una potencia entera se eleva el módulo y se multiplica el argumento por el exponente.

2. Elevamos el módulo. 22=42^{2} = 4

3. Multiplicamos el argumento. 2⋅60∘=120∘2 \cdot 60^\circ = 120^\circ

4. Escribimos el resultado. 4(cos⁡120∘+isen⁡120∘)4(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)

5. Observamos. Sale directamente de aplicar la regla del producto varias veces con el mismo número.

Respuesta: 4(cos⁡120∘+isen⁡120∘)4(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)

10. Calculá (1+i)6(1 + i)^{6} pasando primero a forma polar.

Ver solución

1. Pasamos a polar. ∣1+i∣=2|1 + i| = \sqrt{2} y su argumento es 45∘45^\circ, porque está sobre la bisectriz del primer cuadrante.

2. Aplicamos De Moivre. El módulo queda (2)6=8(\sqrt{2})^{6} = 8 y el argumento 6⋅45∘=270∘6 \cdot 45^\circ = 270^\circ.

3. Reducimos el argumento. 270∘270^\circ es menor que una vuelta, así que queda igual.

4. Escribimos en polar. 8(cos⁡270∘+isen⁡270∘)8(\cos 270^\circ + i\operatorname{sen} 270^\circ)

5. Pasamos a binómica. El resultado es −8i- 8 i.

6. Observamos. Hacer esta potencia en binómica exigiría desarrollar un binomio de grado 6. En polar son dos cuentas.

Respuesta: (1+i)6=−8i(1+i)^{6} = - 8 i

11. Calculá i5i^{5} usando De Moivre y compará con el método del ciclo.

Ver solución

1. Pasamos ii a polar. ∣i∣=1|i| = 1 y su argumento es 90∘90^\circ.

2. Aplicamos De Moivre. El módulo queda 15=11^{5} = 1 y el argumento 5⋅90∘=450∘5 \cdot 90^\circ = 450^\circ.

3. Reducimos. 450∘450^\circ equivale a 90∘90^\circ: se le resta una vuelta completa.

4. Escribimos el resultado. cos⁡90∘+isen⁡90∘=i\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ = i

5. Comparamos con el ciclo. El método del resto dividiendo por cuatro da lo mismo. De Moivre es la explicación de por qué ese ciclo existe: cada potencia rota 90∘90^\circ más.

Respuesta: i5=ii^{5} = i

12. Usando De Moivre con n=4n = 4, deducí las fórmulas del coseno y el seno del ángulo cuádruple.

Ver solución

1. Planteamos los dos lados. Por De Moivre, (cos⁡θ+isen⁡θ)4=cos⁡4θ+isen⁡4θ(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)^4 = \cos 4\theta + i\operatorname{sen} 4\theta.

2. Desarrollamos con el binomio. Los coeficientes son 11, 44, 66, 44, 11: cos⁡4θ+4icos⁡3θsen⁡θ+6i2cos⁡2θsen⁡2θ+4i3cos⁡θsen⁡3θ+i4sen⁡4θ\cos^4\theta + 4i\cos^3\theta\operatorname{sen}\theta + 6i^2\cos^2\theta\operatorname{sen}^2\theta + 4i^3\cos\theta\operatorname{sen}^3\theta + i^4\operatorname{sen}^4\theta

3. Reemplazamos las potencias de ii. Con i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i e i4=1i^4 = 1 los términos segundo y cuarto quedan imaginarios y el tercero cambia de signo.

4. Agrupamos parte real e imaginaria. (cos⁡4θ−6cos⁡2θsen⁡2θ+sen⁡4θ)+i(4cos⁡3θsen⁡θ−4cos⁡θsen⁡3θ)(\cos^4\theta - 6\cos^2\theta\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{sen}^4\theta) + i(4\cos^3\theta\operatorname{sen}\theta - 4\cos\theta\operatorname{sen}^3\theta)

5. Igualamos parte por parte. cos⁡4θ=cos⁡4θ−6cos⁡2θsen⁡2θ+sen⁡4θ\cos 4\theta = \cos^4\theta - 6\cos^2\theta\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{sen}^4\theta y sen⁡4θ=4cos⁡3θsen⁡θ−4cos⁡θsen⁡3θ\operatorname{sen} 4\theta = 4\cos^3\theta\operatorname{sen}\theta - 4\cos\theta\operatorname{sen}^3\theta

6. Observamos el patrón. La parte real junta las potencias pares de sen⁡θ\operatorname{sen}\theta y la imaginaria las impares. Eso vale para cualquier nn.

Respuesta: cos⁡4θ=cos⁡4θ−6cos⁡2θsen⁡2θ+sen⁡4θ\cos 4\theta = \cos^4\theta - 6\cos^2\theta\operatorname{sen}^2\theta + \operatorname{sen}^4\theta y sen⁡4θ=4cos⁡3θsen⁡θ−4cos⁡θsen⁡3θ\operatorname{sen} 4\theta = 4\cos^3\theta\operatorname{sen}\theta - 4\cos\theta\operatorname{sen}^3\theta

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

← Producto y cociente en polarRaíces n-ésimas →

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .