Ejercicios: Producto y cociente en polar

r_{1} r_{2} (\cos(\theta _{1} + \theta _{2}) + i \operatorname{sen}(\theta _{1} + \theta _{2}))

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Multiplicá $4(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$ por $2(\cos 60^\circ + i\operatorname{sen} 60^\circ)$ .

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1. Aplicamos la regla del producto en polar. Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.

2. Multiplicamos los módulos. $4 \cdot 2 = 8$

3. Sumamos los argumentos. $90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$

4. Escribimos el resultado. $8(\cos 150^\circ + i\operatorname{sen} 150^\circ)$

5. Comparamos con la forma binómica. En binómica habría que distribuir cuatro productos y agrupar. En polar son dos cuentas.

Respuesta: $8(\cos 150^\circ + i\operatorname{sen} 150^\circ)$

2. Dividí $12(\cos 180^\circ + i\operatorname{sen} 180^\circ)$ por $3(\cos 60^\circ + i\operatorname{sen} 60^\circ)$ .

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1. Aplicamos la regla del cociente. Los módulos se dividen y los argumentos se restan.

2. Dividimos los módulos. $\dfrac{12}{3} = 4$

3. Restamos los argumentos. $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

4. Escribimos el resultado. $4(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)$

5. Controlamos el orden. La resta va en el orden del cociente: argumento del numerador menos el del denominador. Invertirlo da el conjugado.

Respuesta: $4(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)$

3. Multiplicá $5(\cos 250^\circ + i\operatorname{sen} 250^\circ)$ por $1(\cos 100^\circ + i\operatorname{sen} 100^\circ)$ y llevá el argumento al rango de una vuelta.

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1. Aplicamos la regla. El módulo queda $5 \cdot 1 = 5$ y el argumento $250^\circ + 100^\circ = 350^\circ$ .

2. Vemos el problema. $350^\circ$ pasa de los $360^\circ$ : dio más de una vuelta completa.

3. Restamos una vuelta. $350^\circ - 360^\circ = -10^\circ$

4. Escribimos el resultado. $5(\cos -10^\circ + i\operatorname{sen} -10^\circ)$

5. Observamos. Los dos argumentos describen el mismo complejo, pero se acostumbra dejarlo entre $0^\circ$ y $360^\circ$ .

Respuesta: $5(\cos -10^\circ + i\operatorname{sen} -10^\circ)$

4. Hallá el inverso de $z = 2(\cos 110^\circ + i\operatorname{sen} 110^\circ)$ en forma polar.

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1. Planteamos la división. El inverso es $\dfrac{1}{z}$ , y el $1$ tiene módulo uno y argumento cero.

2. Aplicamos la regla del cociente. Módulo: $\dfrac{1}{2}$ . Argumento: $0^\circ - 110^\circ = -110^\circ$ .

3. Escribimos el resultado. $z^{-1} = \dfrac{1}{2}(\cos(-110^\circ) + i\operatorname{sen}(-110^\circ))$

4. Verificamos. Multiplicando $z$ por su inverso, los módulos dan $1$ y los argumentos se cancelan: queda $1$ .

5. Observamos. El inverso tiene el argumento opuesto, igual que el conjugado, pero el módulo se invierte en vez de mantenerse.

Respuesta: $z^{-1} = \dfrac{1}{2}(\cos(-110^\circ) + i\operatorname{sen}(-110^\circ))$

5. Multiplicá $2(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$ por $5(\cos 45^\circ + i\operatorname{sen} 45^\circ)$ .

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1. Aplicamos la regla del producto en polar. Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.

2. Multiplicamos los módulos. $2 \cdot 5 = 10$

3. Sumamos los argumentos. $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$

4. Escribimos el resultado. $10(\cos 135^\circ + i\operatorname{sen} 135^\circ)$

5. Comparamos con la forma binómica. En binómica habría que distribuir cuatro productos y agrupar. En polar son dos cuentas.

Respuesta: $10(\cos 135^\circ + i\operatorname{sen} 135^\circ)$

6. Dividí $12(\cos 180^\circ + i\operatorname{sen} 180^\circ)$ por $2(\cos 60^\circ + i\operatorname{sen} 60^\circ)$ .

Ver solución

1. Aplicamos la regla del cociente. Los módulos se dividen y los argumentos se restan.

2. Dividimos los módulos. $\dfrac{12}{2} = 6$

3. Restamos los argumentos. $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

4. Escribimos el resultado. $6(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)$

5. Controlamos el orden. La resta va en el orden del cociente: argumento del numerador menos el del denominador. Invertirlo da el conjugado.

Respuesta: $6(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)$

7. Multiplicá $2(\cos 300^\circ + i\operatorname{sen} 300^\circ)$ por $1(\cos 100^\circ + i\operatorname{sen} 100^\circ)$ y llevá el argumento al rango de una vuelta.

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1. Aplicamos la regla. El módulo queda $2 \cdot 1 = 2$ y el argumento $300^\circ + 100^\circ = 400^\circ$ .

2. Vemos el problema. $400^\circ$ pasa de los $360^\circ$ : dio más de una vuelta completa.

3. Restamos una vuelta. $400^\circ - 360^\circ = 40^\circ$

4. Escribimos el resultado. $2(\cos 40^\circ + i\operatorname{sen} 40^\circ)$

5. Observamos. Los dos argumentos describen el mismo complejo, pero se acostumbra dejarlo entre $0^\circ$ y $360^\circ$ .

Respuesta: $2(\cos 40^\circ + i\operatorname{sen} 40^\circ)$

8. Hallá el inverso de $z = 2(\cos 40^\circ + i\operatorname{sen} 40^\circ)$ en forma polar.

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1. Planteamos la división. El inverso es $\dfrac{1}{z}$ , y el $1$ tiene módulo uno y argumento cero.

2. Aplicamos la regla del cociente. Módulo: $\dfrac{1}{2}$ . Argumento: $0^\circ - 40^\circ = -40^\circ$ .

3. Escribimos el resultado. $z^{-1} = \dfrac{1}{2}(\cos(-40^\circ) + i\operatorname{sen}(-40^\circ))$

4. Verificamos. Multiplicando $z$ por su inverso, los módulos dan $1$ y los argumentos se cancelan: queda $1$ .

5. Observamos. El inverso tiene el argumento opuesto, igual que el conjugado, pero el módulo se invierte en vez de mantenerse.

Respuesta: $z^{-1} = \dfrac{1}{2}(\cos(-40^\circ) + i\operatorname{sen}(-40^\circ))$

9. Multiplicá $3(\cos 30^\circ + i\operatorname{sen} 30^\circ)$ por $3(\cos 90^\circ + i\operatorname{sen} 90^\circ)$ .

Ver solución

1. Aplicamos la regla del producto en polar. Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.

2. Multiplicamos los módulos. $3 \cdot 3 = 9$

3. Sumamos los argumentos. $30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$

4. Escribimos el resultado. $9(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)$

5. Comparamos con la forma binómica. En binómica habría que distribuir cuatro productos y agrupar. En polar son dos cuentas.

Respuesta: $9(\cos 120^\circ + i\operatorname{sen} 120^\circ)$

10. Dividí $8(\cos 150^\circ + i\operatorname{sen} 150^\circ)$ por $3(\cos 45^\circ + i\operatorname{sen} 45^\circ)$ .

Ver solución

1. Aplicamos la regla del cociente. Los módulos se dividen y los argumentos se restan.

2. Dividimos los módulos. $\dfrac{8}{3}$

3. Restamos los argumentos. $150^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{8}{3}(\cos 105^\circ + i\operatorname{sen} 105^\circ)$

5. Controlamos el orden. La resta va en el orden del cociente: argumento del numerador menos el del denominador. Invertirlo da el conjugado.

Respuesta: $\dfrac{8}{3}(\cos 105^\circ + i\operatorname{sen} 105^\circ)$

11. Multiplicá $3(\cos 250^\circ + i\operatorname{sen} 250^\circ)$ por $1(\cos 150^\circ + i\operatorname{sen} 150^\circ)$ y llevá el argumento al rango de una vuelta.

Ver solución

1. Aplicamos la regla. El módulo queda $3 \cdot 1 = 3$ y el argumento $250^\circ + 150^\circ = 400^\circ$ .

2. Vemos el problema. $400^\circ$ pasa de los $360^\circ$ : dio más de una vuelta completa.

3. Restamos una vuelta. $400^\circ - 360^\circ = 40^\circ$

4. Escribimos el resultado. $3(\cos 40^\circ + i\operatorname{sen} 40^\circ)$

5. Observamos. Los dos argumentos describen el mismo complejo, pero se acostumbra dejarlo entre $0^\circ$ y $360^\circ$ .

Respuesta: $3(\cos 40^\circ + i\operatorname{sen} 40^\circ)$

12. Hallá el inverso de $z = 5(\cos 70^\circ + i\operatorname{sen} 70^\circ)$ en forma polar.

Ver solución

1. Planteamos la división. El inverso es $\dfrac{1}{z}$ , y el $1$ tiene módulo uno y argumento cero.

2. Aplicamos la regla del cociente. Módulo: $\dfrac{1}{5}$ . Argumento: $0^\circ - 70^\circ = -70^\circ$ .

3. Escribimos el resultado. $z^{-1} = \dfrac{1}{5}(\cos(-70^\circ) + i\operatorname{sen}(-70^\circ))$

4. Verificamos. Multiplicando $z$ por su inverso, los módulos dan $1$ y los argumentos se cancelan: queda $1$ .

5. Observamos. El inverso tiene el argumento opuesto, igual que el conjugado, pero el módulo se invierte en vez de mantenerse.

Respuesta: $z^{-1} = \dfrac{1}{5}(\cos(-70^\circ) + i\operatorname{sen}(-70^\circ))$

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