Polinomios y sus operaciones

Un polinomio es una suma de potencias naturales de una variable, cada una con su coeficiente. El grado es la potencia más alta que aparece con coeficiente no nulo.

El coeficiente de esa potencia máxima se llama coeficiente principal, y cuando vale uno el polinomio se dice mónico.

Sumar y restar polinomios es agrupar los términos del mismo grado. El grado del resultado nunca supera al mayor de los dos, y puede ser menor si los términos principales se cancelan.

Multiplicar es distribuir todo con todo y agrupar. Ahí el grado sí es predecible: es la suma de los grados.

El polinomio nulo es un caso aparte: por convención no se le asigna grado, o se dice que es menos infinito, para que las reglas del producto sigan valiendo.

Evaluar un polinomio en un número es reemplazar la variable y hacer la cuenta. Los valores que dan cero son las raíces, y son el tema central del resto del volumen.

P(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}

Cuándo se usa

En cualquier cuenta con polinomios. Al sumar, el grado puede bajar si los términos principales se cancelan; al multiplicar, los grados se suman siempre.

Ejemplo 1

Sumar $P = x^{3} + 2x - 1$ y $Q = -x^{3} + x^{2} + 4$ e indicar el grado del resultado.

Juntamos los términos del mismo grado. En $x^{3}$ : $1 - 1 = 0$ . En $x^{2}$ : $1$ . En $x$ : $2$ . Independiente: $-1 + 4 = 3$ .
Escribimos el resultado. $x^{2} + 2x + 3$ .
Miramos el grado. Bajó a $2$ , aunque los dos sumandos tenían grado $3$ : los términos principales se cancelaron.
Respuesta: $x^{2} + 2x + 3$ , de grado $2$

Ejemplo 2

Multiplicar $(x + 2)(x^{2} - 3x + 1)$ .

Distribuimos la x. $x^{3} - 3x^{2} + x$ .
Distribuimos el $2$ . $2x^{2} - 6x + 2$ .
Sumamos y agrupamos. $x^{3} - x^{2} - 5x + 2$ . El grado es $3$ , que es $1 + 2$ : la suma de los grados.
Respuesta: $x^{3} - x^{2} - 5x + 2$

Error típico

Saltear los términos que faltan. En $2x^{3} - 5x + 7$ el coeficiente de $x^{2}$ es $0 y$ hay que escribirlo al dividir. Ignorarlo desplaza todos los coeficientes un lugar.

Practicar

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Otros subtemas de Números complejos y polinomios

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