Reconstruir el polinomio

El problema inverso al de factorizar es armar un polinomio a partir de las raíces que tiene que tener.

El procedimiento es directo: se escribe un factor por cada raíz, con la forma variable menos raíz, y se multiplica todo.

Si alguna raíz tiene multiplicidad, su factor aparece elevado a esa potencia.

El polinomio no queda determinado por las raíces solas: cualquier múltiplo tiene las mismas raíces. Para fijarlo hace falta un dato más, casi siempre el coeficiente principal o el valor en algún punto.

Cuando el enunciado pide coeficientes reales y da una raíz compleja, hay que agregar también su conjugada. Olvidarla da un polinomio de grado menor al pedido o con coeficientes complejos.

El grado del resultado es la suma de todas las multiplicidades, y conviene chequearlo contra lo que pide el enunciado.

Al final conviene verificar evaluando en alguna de las raíces: tiene que dar cero.

P(x) = k (x - r_{1})(x - r_{2}) \dots (x - r_{n})

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide un polinomio con ciertas raíces. Armá un factor por cada una, agregá las conjugadas si pide coeficientes reales, y usá el dato extra para fijar el coeficiente principal.

Ejemplo 1

Hallar el polinomio mónico de menor grado con raíces $1$ y $-3$ .

Escribimos un factor por raíz. $(x - 1)$ y $(x + 3)$ , este último porque la raíz es $-3$ .
Multiplicamos. $x^{2} + 3x - x - 3 = x^{2} + 2x - 3$ .
Verificamos. $P(1) = 1 + 2 - 3 = 0$ y $P(-3) = 9 - 6 - 3 = 0$ . Mónico quiere decir con coeficiente principal $1$ .
Respuesta: $x^{2} + 2x - 3$

Ejemplo 2

Hallar el polinomio real mónico de menor grado que tenga a $2 + i$ como raíz.

Agregamos la conjugada. Para que los coeficientes sean reales hace falta también $2 - i$ .
Escribimos los dos factores y los multiplicamos. $(x - 2 - i)(x - 2 + i) = (x - 2)^{2} - i^{2}$ .
Desarrollamos. $x^{2} - 4x + 4 + 1 = x^{2} - 4x + 5$ , con todos sus coeficientes reales.
Respuesta: $x^{2} - 4x + 5$

Error típico

Escribir el factor con el signo de la raíz. Para la raíz $-3$ el factor es $x + 3$ , porque sale de $x - (-3)$ . Copiar el signo tal cual da un polinomio con las raíces cambiadas.

Practicar

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