Método

Ejercicios: Reconstruir el polinomio

P(x)=k(x−r1)(x−r2)…(x−rn)P(x) = k (x - r_{1})(x - r_{2}) \dots (x - r_{n})

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Armá un polinomio mónico de grado 22 cuyas raíces sean 11 y 33.

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1. Planteamos el procedimiento. Por cada raíz se escribe un factor de la forma xx menos la raíz, y se multiplican todos.

2. Escribimos los factores. (x−1)(x - 1) y (x−3)(x - 3)

3. Multiplicamos. p(x)=x2−4x+3p(x) = x^{2} - 4 x + 3

4. Verificamos que sea mónico. El coeficiente principal es 11, como pide el enunciado.

5. Verificamos las raíces. p(1)=0p(1) = 0 y p(3)=0p(3) = 0.

Respuesta: p(x)=x2−4x+3p(x) = x^{2} - 4 x + 3

2. Armá un polinomio mónico cuya única raíz sea −2-2 con multiplicidad 33.

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1. Traducimos la multiplicidad. Que la raíz tenga multiplicidad 33 significa que su factor aparece 33 veces.

2. Escribimos el factor elevado. p(x)=(x+2)3p(x) = (x + 2)^{3}

3. Desarrollamos. p(x)=x3+6x2+12x+8p(x) = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

4. Verificamos el grado. El grado es 33, que coincide con la cantidad de raíces contadas con multiplicidad.

5. Interpretamos. Gráficamente, con multiplicidad impar la curva cruza el eje, pero de forma más achatada.

Respuesta: p(x)=x3+6x2+12x+8p(x) = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

3. Armá el polinomio de grado 22 con coeficiente principal −2-2 y raíces −2-2 y 33.

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1. Escribimos un factor por cada raíz. (x+2)(x + 2) y (x−3)(x - 3)

2. Agregamos el coeficiente principal. p(x)=−2(x+2)(x−3)p(x) = -2(x + 2)(x - 3)

3. Desarrollamos. p(x)=−2x2+2x+12p(x) = - 2 x^{2} + 2 x + 12

4. Verificamos las raíces. p(−2)=0p(-2) = 0 y p(3)=0p(3) = 0.

5. Observamos. El coeficiente principal no afecta a las raíces: multiplicar todo el polinomio por un número no cambia dónde se anula.

Respuesta: p(x)=−2x2+2x+12p(x) = - 2 x^{2} + 2 x + 12

4. Armá un polinomio de grado 33 con coeficientes reales cuyas raíces sean 11 y 2i2i.

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1. Contamos las raíces. Nos dan dos, pero el grado es 33: falta una.

2. Usamos la propiedad de los conjugados. Como los coeficientes tienen que ser reales y 2i2i es raíz, su conjugado −2i-2i también lo es.

3. Escribimos los tres factores. (x−1)(x - 1), (x−2i)(x - 2i) y (x+2i)(x + 2i).

4. Multiplicamos el par conjugado. (x−2i)(x+2i)=x2+4(x-2i)(x+2i) = x^2 + 4, que tiene coeficientes reales.

5. Terminamos el producto. p(x)=(x−1)(x2+4)=x3−x2+4x−4p(x) = (x-1)(x^2+4) = x^3 - x^2 + 4x - 4

6. Verificamos. Todos los coeficientes son reales, como pedía el enunciado.

Respuesta: p(x)=x3−x2+4x−4p(x) = x^3 - x^2 + 4x - 4

5. Armá un polinomio mónico de grado 22 cuyas raíces sean 22 y 33.

Ver solución

1. Planteamos el procedimiento. Por cada raíz se escribe un factor de la forma xx menos la raíz, y se multiplican todos.

2. Escribimos los factores. (x−2)(x - 2) y (x−3)(x - 3)

3. Multiplicamos. p(x)=x2−5x+6p(x) = x^{2} - 5 x + 6

4. Verificamos que sea mónico. El coeficiente principal es 11, como pide el enunciado.

5. Verificamos las raíces. p(2)=0p(2) = 0 y p(3)=0p(3) = 0.

Respuesta: p(x)=x2−5x+6p(x) = x^{2} - 5 x + 6

6. Armá un polinomio mónico cuya única raíz sea 11 con multiplicidad 22.

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1. Traducimos la multiplicidad. Que la raíz tenga multiplicidad 22 significa que su factor aparece 22 veces.

2. Escribimos el factor elevado. p(x)=(x−1)2p(x) = (x - 1)^{2}

3. Desarrollamos. p(x)=x2−2x+1p(x) = x^{2} - 2 x + 1

4. Verificamos el grado. El grado es 22, que coincide con la cantidad de raíces contadas con multiplicidad.

5. Interpretamos. Gráficamente, con multiplicidad par la curva toca el eje sin cruzarlo.

Respuesta: p(x)=x2−2x+1p(x) = x^{2} - 2 x + 1

7. Armá el polinomio de grado 22 con coeficiente principal 33 y raíces 22 y −3-3.

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1. Escribimos un factor por cada raíz. (x−2)(x - 2) y (x+3)(x + 3)

2. Agregamos el coeficiente principal. p(x)=3(x−2)(x+3)p(x) = 3(x - 2)(x + 3)

3. Desarrollamos. p(x)=3x2+3x−18p(x) = 3 x^{2} + 3 x - 18

4. Verificamos las raíces. p(2)=0p(2) = 0 y p(−3)=0p(-3) = 0.

5. Observamos. El coeficiente principal no afecta a las raíces: multiplicar todo el polinomio por un número no cambia dónde se anula.

Respuesta: p(x)=3x2+3x−18p(x) = 3 x^{2} + 3 x - 18

8. Armá un polinomio de grado 33 con coeficientes reales cuyas raíces sean −2-2 e ii.

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1. Contamos las raíces. Nos dan dos y el grado es 33, así que falta una.

2. Usamos la propiedad de los conjugados. Como ii es raíz y los coeficientes tienen que ser reales, −i-i también lo es. Esa es la tercera.

3. Escribimos los tres factores. (x+2)(x + 2), (x−i)(x - i) y (x+i)(x + i).

4. Multiplicamos el par conjugado. (x−i)(x+i)=x2+1(x - i)(x + i) = x^2 + 1

5. Terminamos el producto. p(x)=(x+2)(x2+1)=x3+2x2+x+2p(x) = (x + 2)(x^2 + 1) = x^3 + 2x^2 + x + 2

6. Verificamos evaluando. p(−2)=−8+8−2+2=0p(-2) = -8 + 8 - 2 + 2 = 0, y el factor x2+1x^2 + 1 se anula en ii y en −i-i.

Respuesta: p(x)=x3+2x2+x+2p(x) = x^3 + 2x^2 + x + 2

9. Armá un polinomio mónico de grado 22 cuyas raíces sean −1-1 y −2-2.

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1. Planteamos el procedimiento. Por cada raíz se escribe un factor de la forma xx menos la raíz, y se multiplican todos.

2. Escribimos los factores. (x+1)(x + 1) y (x+2)(x + 2)

3. Multiplicamos. p(x)=x2+3x+2p(x) = x^{2} + 3 x + 2

4. Verificamos que sea mónico. El coeficiente principal es 11, como pide el enunciado.

5. Verificamos las raíces. p(−1)=0p(-1) = 0 y p(−2)=0p(-2) = 0.

Respuesta: p(x)=x2+3x+2p(x) = x^{2} + 3 x + 2

10. Armá un polinomio mónico cuya única raíz sea −1-1 con multiplicidad 22.

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1. Traducimos la multiplicidad. Que la raíz tenga multiplicidad 22 significa que su factor aparece 22 veces.

2. Escribimos el factor elevado. p(x)=(x+1)2p(x) = (x + 1)^{2}

3. Desarrollamos. p(x)=x2+2x+1p(x) = x^{2} + 2 x + 1

4. Verificamos el grado. El grado es 22, que coincide con la cantidad de raíces contadas con multiplicidad.

5. Interpretamos. Gráficamente, con multiplicidad par la curva toca el eje sin cruzarlo.

Respuesta: p(x)=x2+2x+1p(x) = x^{2} + 2 x + 1

11. Armá el polinomio de grado 22 con coeficiente principal −2-2 y raíces 22 y −3-3.

Ver solución

1. Escribimos un factor por cada raíz. (x−2)(x - 2) y (x+3)(x + 3)

2. Agregamos el coeficiente principal. p(x)=−2(x−2)(x+3)p(x) = -2(x - 2)(x + 3)

3. Desarrollamos. p(x)=−2x2−2x+12p(x) = - 2 x^{2} - 2 x + 12

4. Verificamos las raíces. p(2)=0p(2) = 0 y p(−3)=0p(-3) = 0.

5. Observamos. El coeficiente principal no afecta a las raíces: multiplicar todo el polinomio por un número no cambia dónde se anula.

Respuesta: p(x)=−2x2−2x+12p(x) = - 2 x^{2} - 2 x + 12

12. Armá un polinomio de grado 44 con coeficientes reales que tenga a 1+i1 + i como raíz y a −1-1 como raíz doble.

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1. Contamos las raíces. La raíz doble aporta dos, y 1+i1 + i una: van tres de las cuatro que pide el grado.

2. Usamos la propiedad de los conjugados. Como 1+i1 + i es raíz y los coeficientes son reales, 1−i1 - i también lo es. Con esa se completan las cuatro.

3. Escribimos los factores. (x+1)2(x + 1)^2 para la raíz doble, y (x−(1+i))(x−(1−i))(x - (1+i))(x - (1-i)) para el par conjugado.

4. Multiplicamos el par conjugado. La suma de los conjugados es 22 y el producto es 12+12=21^2 + 1^2 = 2, así que el factor es x2−2x+2x^2 - 2x + 2.

5. Desarrollamos el otro factor. (x+1)2=x2+2x+1(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

6. Multiplicamos los dos. (x2+2x+1)(x2−2x+2)=x4−x2+2x+2(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 2) = x^4 - x^2 + 2x + 2

7. Verificamos. p(−1)=1−1−2+2=0p(-1) = 1 - 1 - 2 + 2 = 0, y todos los coeficientes son reales.

Respuesta: p(x)=x4−x2+2x+2p(x) = x^4 - x^2 + 2x + 2

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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