Método

Ejercicios: Módulo y plano complejo

∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el módulo de z=−1−4iz = -1 - 4i y ubicalo en el plano complejo.

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1. Recordamos qué representa. Todo complejo se representa como un punto del plano: la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical.

2. Ubicamos el punto. zz corresponde al punto (−1;−4)(-1; -4).

3. Calculamos el módulo. ∣z∣=(−1)2+(−4)2=17≈4,1231|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{17} \approx 4{,}1231

4. Interpretamos. El módulo es la distancia del punto al origen, así que nunca es negativo.

5. Observamos. El conjugado −1+4i-1 + 4i tiene el mismo módulo, porque es el reflejo respecto del eje real.

Respuesta: ∣z∣=17≈4,1231|z| = \sqrt{17} \approx 4{,}1231

2. Verificá que ∣z⋅w∣=∣z∣⋅∣w∣|z \cdot w| = |z| \cdot |w| con z=−3−2iz = -3 - 2i y w=−1+3iw = -1 + 3i.

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1. Calculamos el producto. z⋅w=9−7iz \cdot w = 9 - 7i

2. Calculamos su módulo. ∣z⋅w∣=130≈11,4018|z \cdot w| = \sqrt{130} \approx 11{,}4018

3. Calculamos los módulos por separado. ∣z∣=13|z| = \sqrt{13} y ∣w∣=10|w| = \sqrt{10}

4. Multiplicamos. ∣z∣⋅∣w∣≈11,4018|z| \cdot |w| \approx 11{,}4018

5. Comparamos. Los dos valores coinciden. Esta propiedad es la que hace tan cómoda la forma polar: al multiplicar, los módulos se multiplican.

Respuesta: los dos valen aproximadamente 11,401811{,}4018

3. Verificá la desigualdad triangular ∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣|z + w| \leq |z| + |w| con z=−3−2iz = -3 - 2i y w=3+3iw = 3 + 3i.

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1. Calculamos la suma. z+w=iz + w = i

2. Calculamos su módulo. ∣z+w∣=1=1|z + w| = \sqrt{1} = 1

3. Calculamos la suma de los módulos. ∣z∣+∣w∣≈7,8482|z| + |w| \approx 7{,}8482

4. Comparamos. 1≤7,84821 \leq 7{,}8482, se cumple.

5. Interpretamos. Es la misma desigualdad triangular de los vectores del plano, porque los complejos se suman igual que ellos.

Respuesta: se cumple: 1≤7,84821 \leq 7{,}8482

4. Ubicá en el plano complejo z=−3−3iz = -3 - 3i, su conjugado y su opuesto, y describí la relación geométrica.

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1. Ubicamos zz. Corresponde al punto (−3;−3)(-3; -3).

2. Ubicamos el conjugado. zˉ=−3+3i\bar{z} = -3 + 3i, en el punto (−3;3)(-3; 3).

3. Ubicamos el opuesto. −z=3+3i-z = 3 + 3i, en el punto (3;3)(3; 3).

4. Describimos las relaciones. El conjugado es el reflejo de zz respecto del eje real. El opuesto es la simetría respecto del origen.

5. Observamos. Los tres tienen el mismo módulo, porque reflejar o rotar media vuelta no cambia la distancia al origen.

Respuesta: el conjugado es el reflejo respecto del eje real y el opuesto la simetría respecto del origen; los tres tienen el mismo módulo

5. Calculá el módulo de z=3−4iz = 3 - 4i y ubicalo en el plano complejo.

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1. Recordamos qué representa. Todo complejo se representa como un punto del plano: la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical.

2. Ubicamos el punto. zz corresponde al punto (3;−4)(3; -4).

3. Calculamos el módulo. ∣z∣=(3)2+(−4)2=25=5|z| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5

4. Interpretamos. El módulo es la distancia del punto al origen, así que nunca es negativo.

5. Observamos. El conjugado 3+4i3 + 4i tiene el mismo módulo, porque es el reflejo respecto del eje real.

Respuesta: ∣z∣=25=5|z| = \sqrt{25} = 5

6. Verificá que ∣z⋅w∣=∣z∣⋅∣w∣|z \cdot w| = |z| \cdot |w| con z=−1−3iz = -1 - 3i y w=−4+5iw = -4 + 5i.

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1. Calculamos el producto. z⋅w=19+7iz \cdot w = 19 + 7i

2. Calculamos su módulo. ∣z⋅w∣=410≈20,2485|z \cdot w| = \sqrt{410} \approx 20{,}2485

3. Calculamos los módulos por separado. ∣z∣=10|z| = \sqrt{10} y ∣w∣=41|w| = \sqrt{41}

4. Multiplicamos. ∣z∣⋅∣w∣≈20,2485|z| \cdot |w| \approx 20{,}2485

5. Comparamos. Los dos valores coinciden. Esta propiedad es la que hace tan cómoda la forma polar: al multiplicar, los módulos se multiplican.

Respuesta: los dos valen aproximadamente 20,248520{,}2485

7. Verificá la desigualdad triangular ∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣|z + w| \leq |z| + |w| con z=−4−2iz = -4 - 2i y w=3−2iw = 3 - 2i.

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1. Calculamos la suma. z+w=−1−4iz + w = -1 - 4i

2. Calculamos su módulo. ∣z+w∣=17≈4,1231|z + w| = \sqrt{17} \approx 4{,}1231

3. Calculamos la suma de los módulos. ∣z∣+∣w∣≈8,0777|z| + |w| \approx 8{,}0777

4. Comparamos. 4,1231≤8,07774{,}1231 \leq 8{,}0777, se cumple.

5. Interpretamos. Es la misma desigualdad triangular de los vectores del plano, porque los complejos se suman igual que ellos.

Respuesta: se cumple: 4,1231≤8,07774{,}1231 \leq 8{,}0777

8. Ubicá en el plano complejo z=−4+5iz = -4 + 5i, su conjugado y su opuesto, y describí la relación geométrica.

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1. Ubicamos zz. Corresponde al punto (−4;5)(-4; 5).

2. Ubicamos el conjugado. zˉ=−4−5i\bar{z} = -4 - 5i, en el punto (−4;−5)(-4; -5).

3. Ubicamos el opuesto. −z=4−5i-z = 4 - 5i, en el punto (4;−5)(4; -5).

4. Describimos las relaciones. El conjugado es el reflejo de zz respecto del eje real. El opuesto es la simetría respecto del origen.

5. Observamos. Los tres tienen el mismo módulo, porque reflejar o rotar media vuelta no cambia la distancia al origen.

Respuesta: el conjugado es el reflejo respecto del eje real y el opuesto la simetría respecto del origen; los tres tienen el mismo módulo

9. Calculá el módulo de z=−3+6iz = -3 + 6i y ubicalo en el plano complejo.

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1. Recordamos qué representa. Todo complejo se representa como un punto del plano: la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical.

2. Ubicamos el punto. zz corresponde al punto (−3;6)(-3; 6).

3. Calculamos el módulo. ∣z∣=(−3)2+(6)2=45≈6,7082|z| = \sqrt{(-3)^2 + (6)^2} = \sqrt{45} \approx 6{,}7082

4. Interpretamos. El módulo es la distancia del punto al origen, así que nunca es negativo.

5. Observamos. El conjugado −3−6i-3 - 6i tiene el mismo módulo, porque es el reflejo respecto del eje real.

Respuesta: ∣z∣=45≈6,7082|z| = \sqrt{45} \approx 6{,}7082

10. Verificá que ∣z⋅w∣=∣z∣⋅∣w∣|z \cdot w| = |z| \cdot |w| con z=2−3iz = 2 - 3i y w=−3+iw = -3 + i.

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1. Calculamos el producto. z⋅w=−3+11iz \cdot w = -3 + 11i

2. Calculamos su módulo. ∣z⋅w∣=130≈11,4018|z \cdot w| = \sqrt{130} \approx 11{,}4018

3. Calculamos los módulos por separado. ∣z∣=13|z| = \sqrt{13} y ∣w∣=10|w| = \sqrt{10}

4. Multiplicamos. ∣z∣⋅∣w∣≈11,4018|z| \cdot |w| \approx 11{,}4018

5. Comparamos. Los dos valores coinciden. Esta propiedad es la que hace tan cómoda la forma polar: al multiplicar, los módulos se multiplican.

Respuesta: los dos valen aproximadamente 11,401811{,}4018

11. Verificá la desigualdad triangular ∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣|z + w| \leq |z| + |w| con z=−1−3iz = -1 - 3i y w=−2−iw = -2 - i.

Ver solución

1. Calculamos la suma. z+w=−3−4iz + w = -3 - 4i

2. Calculamos su módulo. ∣z+w∣=25=5|z + w| = \sqrt{25} = 5

3. Calculamos la suma de los módulos. ∣z∣+∣w∣≈5,3983|z| + |w| \approx 5{,}3983

4. Comparamos. 5≤5,39835 \leq 5{,}3983, se cumple.

5. Interpretamos. Es la misma desigualdad triangular de los vectores del plano, porque los complejos se suman igual que ellos.

Respuesta: se cumple: 5≤5,39835 \leq 5{,}3983

12. Ubicá en el plano complejo z=2−iz = 2 - i, su conjugado y su opuesto, y describí la relación geométrica.

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1. Ubicamos zz. Corresponde al punto (2;−1)(2; -1).

2. Ubicamos el conjugado. zˉ=2+i\bar{z} = 2 + i, en el punto (2;1)(2; 1).

3. Ubicamos el opuesto. −z=−2+i-z = -2 + i, en el punto (−2;1)(-2; 1).

4. Describimos las relaciones. El conjugado es el reflejo de zz respecto del eje real. El opuesto es la simetría respecto del origen.

5. Observamos. Los tres tienen el mismo módulo, porque reflejar o rotar media vuelta no cambia la distancia al origen.

Respuesta: el conjugado es el reflejo respecto del eje real y el opuesto la simetría respecto del origen; los tres tienen el mismo módulo

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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