Método

Ejercicios: Operaciones y conjugado

conjugado de a+a + bi =a−= a - bi

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Con z=−4−2iz = -4 - 2i y w=4+4iw = 4 + 4i, calculá z+wz + w y z−wz - w.

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1. Recordamos la regla. La suma y la resta se hacen parte por parte, igual que con vectores del plano.

2. Sumamos. z+w=(−4+4)+(−2+4)i=2iz + w = (-4 + 4) + (-2 + 4)i = 2i

3. Restamos. z−w=(−4−4)+(−2−4)i=−8−6iz - w = (-4 - 4) + (-2 - 4)i = -8 - 6i

4. Observamos. No hay que hacer nada especial con la ii: se agrupan los términos con ii por un lado y los que no la tienen por el otro.

Respuesta: z+w=2iz + w = 2i y z−w=−8−6iz - w = -8 - 6i

2. Calculá z⋅wz \cdot w con z=2−iz = 2 - i y w=−1+5iw = -1 + 5i.

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1. Distribuimos como con binomios. (2−i)(−1+5i)(2 - i)(-1 + 5i) se desarrolla multiplicando todos los términos entre sí.

2. Escribimos los cuatro productos. 2⋅(−1)=−22 \cdot (-1) = -2, 2⋅5i=10i2 \cdot 5i = 10i, (−i)⋅(−1)=i(-i) \cdot (-1) = i, (−i)⋅5i=−5i2(-i) \cdot 5i = -5i^2

3. Reemplazamos i2i^2 por −1-1. El último término queda 55, y ese cambio de signo es la clave de toda la multiplicación.

4. Agrupamos. z⋅w=3+11iz \cdot w = 3 + 11i

5. Controlamos. Olvidarse de que i2=−1i^2 = -1 es el error más común: deja el resultado con un signo cambiado en la parte real.

Respuesta: z⋅w=3+11iz \cdot w = 3 + 11i

3. Hallá el conjugado de z=−6+6iz = -6 + 6i y calculá z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

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1. Definimos el conjugado. El conjugado se obtiene cambiándole el signo a la parte imaginaria.

2. Lo escribimos. zˉ=−6−6i\bar{z} = -6 - 6i

3. Multiplicamos. z⋅zˉ=(−6)2+(6)2=72z \cdot \bar{z} = (-6)^2 + (6)^2 = 72

4. Interpretamos el resultado. El producto de un complejo por su conjugado siempre da un número real y no negativo: es el módulo al cuadrado.

5. Vemos para qué sirve. Esa propiedad es la que permite dividir complejos, multiplicando arriba y abajo por el conjugado del denominador.

Respuesta: zˉ=−6−6i\bar{z} = -6 - 6i y z⋅zˉ=72z \cdot \bar{z} = 72

4. Calculá zw\dfrac{z}{w} con z=−2+iz = -2 + i y w=−4+2iw = -4 + 2i.

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1. Planteamos la estrategia. Para dividir se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, así el denominador queda real.

2. Escribimos el conjugado. wˉ=−4−2i\bar{w} = -4 - 2i

3. Calculamos el denominador. w⋅wˉ=(−4)2+(2)2=20w \cdot \bar{w} = (-4)^2 + (2)^2 = 20

4. Calculamos el numerador. (−2+i)(−4−2i)=10+0i(-2 + i)(-4 - 2i) = 10 + 0i

5. Escribimos el resultado. zw=1020+020i\dfrac{z}{w} = \dfrac{10}{20} + \dfrac{0}{20}i

Respuesta: zw=1020+020i\dfrac{z}{w} = \dfrac{10}{20} + \dfrac{0}{20}i

5. Con z=5+4iz = 5 + 4i y w=4−5iw = 4 - 5i, calculá z+wz + w y z−wz - w.

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1. Recordamos la regla. La suma y la resta se hacen parte por parte, igual que con vectores del plano.

2. Sumamos. z+w=(5+4)+(4−5)i=9−iz + w = (5 + 4) + (4 - 5)i = 9 - i

3. Restamos. z−w=(5−4)+(4−(−5))i=1+9iz - w = (5 - 4) + (4 - (-5))i = 1 + 9i

4. Observamos. No hay que hacer nada especial con la ii: se agrupan los términos con ii por un lado y los que no la tienen por el otro.

Respuesta: z+w=9−iz + w = 9 - i y z−w=1+9iz - w = 1 + 9i

6. Calculá z⋅wz \cdot w con z=−2+3iz = -2 + 3i y w=3+5iw = 3 + 5i.

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1. Distribuimos como con binomios. (−2+3i)(3+5i)(-2 + 3i)(3 + 5i) se desarrolla multiplicando todos los términos entre sí.

2. Escribimos los cuatro productos. (−2)⋅3=−6(-2) \cdot 3 = -6, (−2)⋅5i=−10i(-2) \cdot 5i = -10i, 3i⋅3=9i3i \cdot 3 = 9i, 3i⋅5i=15i23i \cdot 5i = 15i^2

3. Reemplazamos i2i^2 por −1-1. El último término queda −15-15, y ese cambio de signo es la clave de toda la multiplicación.

4. Agrupamos. z⋅w=−21−iz \cdot w = -21 - i

5. Controlamos. Olvidarse de que i2=−1i^2 = -1 es el error más común: deja el resultado con un signo cambiado en la parte real.

Respuesta: z⋅w=−21−iz \cdot w = -21 - i

7. Hallá el conjugado de z=−5+5iz = -5 + 5i y calculá z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

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1. Definimos el conjugado. El conjugado se obtiene cambiándole el signo a la parte imaginaria.

2. Lo escribimos. zˉ=−5−5i\bar{z} = -5 - 5i

3. Multiplicamos. z⋅zˉ=(−5)2+(5)2=50z \cdot \bar{z} = (-5)^2 + (5)^2 = 50

4. Interpretamos el resultado. El producto de un complejo por su conjugado siempre da un número real y no negativo: es el módulo al cuadrado.

5. Vemos para qué sirve. Esa propiedad es la que permite dividir complejos, multiplicando arriba y abajo por el conjugado del denominador.

Respuesta: zˉ=−5−5i\bar{z} = -5 - 5i y z⋅zˉ=50z \cdot \bar{z} = 50

8. Calculá zw\dfrac{z}{w} con z=−3+iz = -3 + i y w=4+iw = 4 + i.

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1. Planteamos la estrategia. Para dividir se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, así el denominador queda real.

2. Escribimos el conjugado. wˉ=4−i\bar{w} = 4 - i

3. Calculamos el denominador. w⋅wˉ=(4)2+(1)2=17w \cdot \bar{w} = (4)^2 + (1)^2 = 17

4. Calculamos el numerador. (−3+i)(4−i)=−11+7i(-3 + i)(4 - i) = -11 + 7i

5. Escribimos el resultado. zw=−1117+717i\dfrac{z}{w} = \dfrac{-11}{17} + \dfrac{7}{17}i

Respuesta: zw=−1117+717i\dfrac{z}{w} = \dfrac{-11}{17} + \dfrac{7}{17}i

9. Con z=−5−5iz = -5 - 5i y w=−2−3iw = -2 - 3i, calculá z+wz + w y z−wz - w.

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1. Recordamos la regla. La suma y la resta se hacen parte por parte, igual que con vectores del plano.

2. Sumamos. z+w=(−5−2)+(−5−3)i=−7−8iz + w = (-5 - 2) + (-5 - 3)i = -7 - 8i

3. Restamos. z−w=(−5−(−2))+(−5−(−3))i=−3−2iz - w = (-5 - (-2)) + (-5 - (-3))i = -3 - 2i

4. Observamos. No hay que hacer nada especial con la ii: se agrupan los términos con ii por un lado y los que no la tienen por el otro.

Respuesta: z+w=−7−8iz + w = -7 - 8i y z−w=−3−2iz - w = -3 - 2i

10. Calculá z⋅wz \cdot w con z=1+5iz = 1 + 5i y w=1+4iw = 1 + 4i.

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1. Distribuimos como con binomios. (1+5i)(1+4i)(1 + 5i)(1 + 4i) se desarrolla multiplicando todos los términos entre sí.

2. Escribimos los cuatro productos. 1⋅1=11 \cdot 1 = 1, 1⋅4i=4i1 \cdot 4i = 4i, 5i⋅1=5i5i \cdot 1 = 5i, 5i⋅4i=20i25i \cdot 4i = 20i^2

3. Reemplazamos i2i^2 por −1-1. El último término queda −20-20, y ese cambio de signo es la clave de toda la multiplicación.

4. Agrupamos. z⋅w=−19+9iz \cdot w = -19 + 9i

5. Controlamos. Olvidarse de que i2=−1i^2 = -1 es el error más común: deja el resultado con un signo cambiado en la parte real.

Respuesta: z⋅w=−19+9iz \cdot w = -19 + 9i

11. Hallá el conjugado de z=−1+3iz = -1 + 3i y calculá z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

Ver solución

1. Definimos el conjugado. El conjugado se obtiene cambiándole el signo a la parte imaginaria.

2. Lo escribimos. zˉ=−1−3i\bar{z} = -1 - 3i

3. Multiplicamos. z⋅zˉ=(−1)2+(3)2=10z \cdot \bar{z} = (-1)^2 + (3)^2 = 10

4. Interpretamos el resultado. El producto de un complejo por su conjugado siempre da un número real y no negativo: es el módulo al cuadrado.

5. Vemos para qué sirve. Esa propiedad es la que permite dividir complejos, multiplicando arriba y abajo por el conjugado del denominador.

Respuesta: zˉ=−1−3i\bar{z} = -1 - 3i y z⋅zˉ=10z \cdot \bar{z} = 10

12. Calculá zw\dfrac{z}{w} con z=1+2iz = 1 + 2i y w=−1−4iw = -1 - 4i.

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1. Planteamos la estrategia. Para dividir se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, así el denominador queda real.

2. Escribimos el conjugado. wˉ=−1+4i\bar{w} = -1 + 4i

3. Calculamos el denominador. w⋅wˉ=(−1)2+(−4)2=17w \cdot \bar{w} = (-1)^2 + (-4)^2 = 17

4. Calculamos el numerador. (1+2i)(−1+4i)=−9+2i(1 + 2i)(-1 + 4i) = -9 + 2i

5. Escribimos el resultado. zw=−917+217i\dfrac{z}{w} = \dfrac{-9}{17} + \dfrac{2}{17}i

Respuesta: zw=−917+217i\dfrac{z}{w} = \dfrac{-9}{17} + \dfrac{2}{17}i

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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