Método

Ejercicios: Qué es un número complejo

i2=−1i^{2} = -1

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Indicá la parte real y la parte imaginaria de z=−1−3iz = -1 - 3i, y escribí su opuesto.

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1. Identificamos la forma binómica. Un complejo se escribe a+bia + bi: la parte real es el número sin ii y la imaginaria es el coeficiente que acompaña a ii.

2. Leemos cada parte. Re⁡(z)=−1\operatorname{Re}(z) = -1 y Im⁡(z)=−3\operatorname{Im}(z) = -3

3. Aclaramos un detalle. La parte imaginaria es un número real: es el coeficiente, no incluye la ii.

4. Escribimos el opuesto. −z=1+3i-z = 1 + 3i, cambiando los dos signos.

Respuesta: Re⁡(z)=−1\operatorname{Re}(z) = -1, Im⁡(z)=−3\operatorname{Im}(z) = -3 y −z=1+3i-z = 1 + 3i

2. Calculá i5i^{5}.

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1. Recordamos el ciclo. Las potencias de ii se repiten cada cuatro: i1=ii^1 = i, i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1.

2. Dividimos el exponente por cuatro. 5=4⋅1+15 = 4 \cdot 1 + 1

3. Usamos el resto. Solo importa el resto, que es 11.

4. Escribimos el resultado. i5=ii^{5} = i

5. Observamos. Ese ciclo de cuatro es lo que hace que las potencias de ii nunca crezcan: giran sobre los mismos cuatro valores.

Respuesta: i5=ii^{5} = i

3. Resolvé la ecuación x2=−49x^2 = -49 en los números complejos.

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1. Vemos por qué no hay solución real. Ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo.

2. Usamos la unidad imaginaria. Escribimos −49=49⋅(−1)=49i2-49 = 49 \cdot (-1) = 49i^2.

3. Tomamos raíz. x=±49 i=±7ix = \pm\sqrt{49}\,i = \pm 7i

4. Verificamos. (7i)2=49i2=−49(7i)^2 = 49i^2 = -49, y con el signo negativo pasa lo mismo.

5. Observamos. Justamente para resolver ecuaciones como esta se inventaron los complejos.

Respuesta: x=7ix = 7i o x=−7ix = -7i

4. Hallá los valores reales de mm y nn para que 4m−5ni=12−10i4m - 5ni = 12 - 10i.

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1. Aplicamos la condición de igualdad. Dos complejos son iguales exactamente cuando coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias por separado.

2. Igualamos las partes reales. 4m=124m = 12, de donde m=3m = 3.

3. Igualamos las partes imaginarias. −5n=−10-5n = -10, de donde n=2n = 2.

4. Escribimos el resultado. m=3m = 3 y n=2n = 2.

5. Observamos. Una igualdad entre complejos equivale siempre a dos igualdades entre reales. Ese desdoblamiento es la herramienta principal del tema.

Respuesta: m=3m = 3 y n=2n = 2

5. Indicá la parte real y la parte imaginaria de z=−5−6iz = -5 - 6i, y escribí su opuesto.

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1. Identificamos la forma binómica. Un complejo se escribe a+bia + bi: la parte real es el número sin ii y la imaginaria es el coeficiente que acompaña a ii.

2. Leemos cada parte. Re⁡(z)=−5\operatorname{Re}(z) = -5 y Im⁡(z)=−6\operatorname{Im}(z) = -6

3. Aclaramos un detalle. La parte imaginaria es un número real: es el coeficiente, no incluye la ii.

4. Escribimos el opuesto. −z=5+6i-z = 5 + 6i, cambiando los dos signos.

Respuesta: Re⁡(z)=−5\operatorname{Re}(z) = -5, Im⁡(z)=−6\operatorname{Im}(z) = -6 y −z=5+6i-z = 5 + 6i

6. Calculá i3i^{3}.

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1. Recordamos el ciclo. Las potencias de ii se repiten cada cuatro: i1=ii^1 = i, i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1.

2. Dividimos el exponente por cuatro. 3=4⋅0+33 = 4 \cdot 0 + 3

3. Usamos el resto. Solo importa el resto, que es 33.

4. Escribimos el resultado. i3=−ii^{3} = -i

5. Observamos. Ese ciclo de cuatro es lo que hace que las potencias de ii nunca crezcan: giran sobre los mismos cuatro valores.

Respuesta: i3=−ii^{3} = -i

7. Resolvé la ecuación x2=−36x^2 = -36 en los números complejos.

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1. Vemos por qué no hay solución real. Ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo.

2. Usamos la unidad imaginaria. Escribimos −36=36⋅(−1)=36i2-36 = 36 \cdot (-1) = 36i^2.

3. Tomamos raíz. x=±36 i=±6ix = \pm\sqrt{36}\,i = \pm 6i

4. Verificamos. (6i)2=36i2=−36(6i)^2 = 36i^2 = -36, y con el signo negativo pasa lo mismo.

5. Observamos. Justamente para resolver ecuaciones como esta se inventaron los complejos.

Respuesta: x=6ix = 6i o x=−6ix = -6i

8. Hallá los valores reales de mm y nn para que 3m+6ni=9+12i3m + 6ni = 9 + 12i.

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1. Aplicamos la condición de igualdad. Dos complejos son iguales exactamente cuando coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias por separado.

2. Igualamos las partes reales. 3m=93m = 9, de donde m=3m = 3.

3. Igualamos las partes imaginarias. 6n=126n = 12, de donde n=2n = 2.

4. Escribimos el resultado. m=3m = 3 y n=2n = 2.

5. Observamos. Una igualdad entre complejos equivale siempre a dos igualdades entre reales. Ese desdoblamiento es la herramienta principal del tema.

Respuesta: m=3m = 3 y n=2n = 2

9. Indicá la parte real y la parte imaginaria de z=−6−3iz = -6 - 3i, y escribí su opuesto.

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1. Identificamos la forma binómica. Un complejo se escribe a+bia + bi: la parte real es el número sin ii y la imaginaria es el coeficiente que acompaña a ii.

2. Leemos cada parte. Re⁡(z)=−6\operatorname{Re}(z) = -6 y Im⁡(z)=−3\operatorname{Im}(z) = -3

3. Aclaramos un detalle. La parte imaginaria es un número real: es el coeficiente, no incluye la ii.

4. Escribimos el opuesto. −z=6+3i-z = 6 + 3i, cambiando los dos signos.

Respuesta: Re⁡(z)=−6\operatorname{Re}(z) = -6, Im⁡(z)=−3\operatorname{Im}(z) = -3 y −z=6+3i-z = 6 + 3i

10. Calculá i7i^{7}.

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1. Recordamos el ciclo. Las potencias de ii se repiten cada cuatro: i1=ii^1 = i, i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1.

2. Dividimos el exponente por cuatro. 7=4⋅1+37 = 4 \cdot 1 + 3

3. Usamos el resto. Solo importa el resto, que es 33.

4. Escribimos el resultado. i7=−ii^{7} = -i

5. Observamos. Ese ciclo de cuatro es lo que hace que las potencias de ii nunca crezcan: giran sobre los mismos cuatro valores.

Respuesta: i7=−ii^{7} = -i

11. Resolvé la ecuación x2=−9x^2 = -9 en los números complejos.

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1. Vemos por qué no hay solución real. Ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo.

2. Usamos la unidad imaginaria. Escribimos −9=9⋅(−1)=9i2-9 = 9 \cdot (-1) = 9i^2.

3. Tomamos raíz. x=±9 i=±3ix = \pm\sqrt{9}\,i = \pm 3i

4. Verificamos. (3i)2=9i2=−9(3i)^2 = 9i^2 = -9, y con el signo negativo pasa lo mismo.

5. Observamos. Justamente para resolver ecuaciones como esta se inventaron los complejos.

Respuesta: x=3ix = 3i o x=−3ix = -3i

12. Hallá los valores reales de mm y nn para que −4m−2ni=−12−4i-4m - 2ni = -12 - 4i.

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1. Aplicamos la condición de igualdad. Dos complejos son iguales exactamente cuando coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias por separado.

2. Igualamos las partes reales. −4m=−12-4m = -12, de donde m=3m = 3.

3. Igualamos las partes imaginarias. −2n=−4-2n = -4, de donde n=2n = 2.

4. Escribimos el resultado. m=3m = 3 y n=2n = 2.

5. Observamos. Una igualdad entre complejos equivale siempre a dos igualdades entre reales. Ese desdoblamiento es la herramienta principal del tema.

Respuesta: m=3m = 3 y n=2n = 2

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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