Método

Ejercicios: Teorema fundamental del álgebra

grado n→nn \to n raíces en los complejos

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Un polinomio tiene grado 55. Indicá cuántas raíces complejas tiene y justificá.

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1. Enunciamos el teorema. El teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una raíz compleja.

2. Lo aplicamos repetidamente. Cada raíz encontrada da un factor de grado uno, y el cociente tiene un grado menos. Ese cociente vuelve a tener al menos una raíz.

3. Contamos. Repitiendo el proceso 55 veces se llega a grado cero, así que se obtienen 55 factores lineales.

4. Concluimos. El polinomio tiene exactamente 55 raíces complejas, contadas con su multiplicidad.

5. Aclaramos. Algunas pueden repetirse, y algunas pueden no ser reales. Pero contadas con multiplicidad son siempre tantas como el grado.

Respuesta: tiene exactamente 55 raíces complejas, contadas con multiplicidad

2. Decidí si el polinomio p(x)=x2+1p(x) = x^2 + 1 contradice el teorema fundamental del álgebra.

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1. Buscamos raíces reales. x2=−1x^2 = -1 no tiene solución entre los reales, así que no hay raíces reales.

2. Recordamos qué dice el teorema. El teorema habla de raíces complejas, no reales. Los reales son un caso particular de los complejos.

3. Buscamos las raíces complejas. x=ix = i y x=−ix = -i.

4. Contamos. Hay dos raíces, igual que el grado.

5. Concluimos. No hay contradicción. El teorema se cumple: lo que no siempre existe son raíces reales.

Respuesta: no lo contradice: las raíces son ii y −i-i, dos como el grado

3. Un polinomio de grado 44 con coeficientes reales, ¿puede no tener ninguna raíz real? Justificá.

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1. Usamos la propiedad de las raíces complejas. En un polinomio con coeficientes reales, las raíces no reales vienen siempre de a pares conjugados.

2. Contamos. Si todas las raíces fueran no reales, la cantidad total tendría que ser par.

3. Comparamos con el grado. El grado es 44, que es par.

4. Concluimos. Como el grado es par, sí es posible que ninguna raíz sea real.

5. Damos la regla. Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Los de grado par pueden no tener ninguna.

Respuesta: sí puede: con grado par todas las raíces pueden venir en pares conjugados

4. Un polinomio de grado 44 tiene raíces 22, −2-2 y ii. Hallá la cuarta raíz sabiendo que sus coeficientes son reales.

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1. Contamos las raíces conocidas. Tenemos tres: 22, −2-2 e ii. Falta una, porque el grado es 44.

2. Usamos la propiedad de los coeficientes reales. En un polinomio con coeficientes reales, si un complejo no real es raíz, su conjugado también lo es.

3. Aplicamos la propiedad. Como ii es raíz, su conjugado −i-i también lo es.

4. Escribimos la cuarta raíz. La cuarta raíz es −i-i.

5. Verificamos el conteo. Las cuatro raíces son 22, −2-2, ii y −i-i, que son exactamente el grado.

Respuesta: la cuarta raíz es −i-i

5. Un polinomio tiene grado 44. Indicá cuántas raíces complejas tiene y justificá.

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1. Enunciamos el teorema. El teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una raíz compleja.

2. Lo aplicamos repetidamente. Cada raíz encontrada da un factor de grado uno, y el cociente tiene un grado menos. Ese cociente vuelve a tener al menos una raíz.

3. Contamos. Repitiendo el proceso 44 veces se llega a grado cero, así que se obtienen 44 factores lineales.

4. Concluimos. El polinomio tiene exactamente 44 raíces complejas, contadas con su multiplicidad.

5. Aclaramos. Algunas pueden repetirse, y algunas pueden no ser reales. Pero contadas con multiplicidad son siempre tantas como el grado.

Respuesta: tiene exactamente 44 raíces complejas, contadas con multiplicidad

6. El polinomio p(x)=x3−1p(x) = x^3 - 1 corta al eje xx una sola vez. Decidí si eso contradice el teorema fundamental del álgebra.

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1. Interpretamos el dato del gráfico. Cortar el eje una sola vez significa que tiene una única raíz real, que es x=1x = 1.

2. Recordamos qué cuenta el teorema. El teorema cuenta raíces complejas, y el gráfico solo muestra las reales. Las no reales no se ven como cortes.

3. Factorizamos. x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

4. Resolvemos el factor de grado 22. x2+x+1x^2 + x + 1 tiene discriminante 1−4=−31 - 4 = -3, negativo: sus dos raíces son complejas conjugadas.

5. Contamos. Una real más dos complejas dan tres raíces, igual que el grado.

6. Concluimos. No hay contradicción. El gráfico nunca alcanza para contar raíces: solo muestra las reales.

Respuesta: no lo contradice: hay tres raíces, una real y dos complejas conjugadas, y el gráfico solo muestra la real

7. Un polinomio de grado 55 con coeficientes reales, ¿puede no tener ninguna raíz real? Justificá.

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1. Usamos la propiedad de las raíces complejas. En un polinomio con coeficientes reales, las raíces no reales vienen siempre de a pares conjugados.

2. Contamos. Si todas las raíces fueran no reales, la cantidad total tendría que ser par.

3. Comparamos con el grado. El grado es 55, que es impar.

4. Concluimos. Como el grado es impar, no se pueden aparear todas: al menos una raíz tiene que ser real.

5. Damos la regla. Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Los de grado par pueden no tener ninguna.

Respuesta: no puede: todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real

8. Un polinomio de grado 44 tiene raíces −2-2, 22 y ii. Hallá la cuarta raíz sabiendo que sus coeficientes son reales.

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1. Contamos las raíces conocidas. Tenemos tres: −2-2, 22 e ii. Falta una, porque el grado es 44.

2. Usamos la propiedad de los coeficientes reales. En un polinomio con coeficientes reales, si un complejo no real es raíz, su conjugado también lo es.

3. Aplicamos la propiedad. Como ii es raíz, su conjugado −i-i también lo es.

4. Escribimos la cuarta raíz. La cuarta raíz es −i-i.

5. Verificamos el conteo. Las cuatro raíces son −2-2, 22, ii y −i-i, que son exactamente el grado.

Respuesta: la cuarta raíz es −i-i

9. Un polinomio tiene grado 66. Indicá cuántas raíces complejas tiene y justificá.

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1. Enunciamos el teorema. El teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una raíz compleja.

2. Lo aplicamos repetidamente. Cada raíz encontrada da un factor de grado uno, y el cociente tiene un grado menos. Ese cociente vuelve a tener al menos una raíz.

3. Contamos. Repitiendo el proceso 66 veces se llega a grado cero, así que se obtienen 66 factores lineales.

4. Concluimos. El polinomio tiene exactamente 66 raíces complejas, contadas con su multiplicidad.

5. Aclaramos. Algunas pueden repetirse, y algunas pueden no ser reales. Pero contadas con multiplicidad son siempre tantas como el grado.

Respuesta: tiene exactamente 66 raíces complejas, contadas con multiplicidad

10. El polinomio p(x)=(x−2)3p(x) = (x - 2)^3 tiene una sola raíz distinta, que es 22. Decidí si contradice el teorema fundamental del álgebra.

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1. Identificamos el grado. Desarrollando el cubo el polinomio tiene grado 33, así que el teorema pide tres raíces.

2. Buscamos las raíces. (x−2)3=0(x-2)^3 = 0 obliga a x−2=0x - 2 = 0, así que el único valor que anula es x=2x = 2.

3. Recordamos cómo cuenta el teorema. El teorema cuenta raíces con su multiplicidad, no valores distintos.

4. Vemos la multiplicidad acá. El factor x−2x - 2 aparece tres veces, así que 22 es raíz de multiplicidad 33.

5. Contamos. Tres raíces contadas con multiplicidad, igual que el grado.

6. Concluimos. No hay contradicción. Un polinomio de grado nn tiene nn raíces contadas con multiplicidad, pero puede tener muchas menos distintas.

Respuesta: no lo contradice: 22 es raíz triple, y el teorema cuenta las raíces con su multiplicidad

11. Un polinomio de grado 33 con coeficientes reales, ¿puede no tener ninguna raíz real? Justificá.

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1. Usamos la propiedad de las raíces complejas. En un polinomio con coeficientes reales, las raíces no reales vienen siempre de a pares conjugados.

2. Contamos. Si todas las raíces fueran no reales, la cantidad total tendría que ser par.

3. Comparamos con el grado. El grado es 33, que es impar.

4. Concluimos. Como el grado es impar, no se pueden aparear todas: al menos una raíz tiene que ser real.

5. Damos la regla. Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Los de grado par pueden no tener ninguna.

Respuesta: no puede: todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real

12. Un polinomio de grado 44 tiene raíces −2-2, −3-3 y ii. Hallá la cuarta raíz sabiendo que sus coeficientes son reales.

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1. Contamos las raíces conocidas. Tenemos tres: −2-2, −3-3 e ii. Falta una, porque el grado es 44.

2. Usamos la propiedad de los coeficientes reales. En un polinomio con coeficientes reales, si un complejo no real es raíz, su conjugado también lo es.

3. Aplicamos la propiedad. Como ii es raíz, su conjugado −i-i también lo es.

4. Escribimos la cuarta raíz. La cuarta raíz es −i-i.

5. Verificamos el conteo. Las cuatro raíces son −2-2, −3-3, ii y −i-i, que son exactamente el grado.

Respuesta: la cuarta raíz es −i-i

Integradores de Números complejos y polinomios: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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