Polinomio característico

El polinomio característico es la herramienta para calcular los autovalores. Se obtiene restándole a la matriz una incógnita en la diagonal y calculando el determinante.

Las raíces de ese polinomio son exactamente los autovalores. La razón es que un autovalor hace que el sistema tenga soluciones no triviales, y eso pasa justo cuando el determinante se anula.

Su grado coincide con el tamaño de la matriz, así que una matriz de tres por tres tiene a lo sumo tres autovalores distintos.

Puede que algunas raíces sean complejas. Trabajando con números reales, esas se descartan y la matriz tiene menos autovalores que su tamaño. Eso es lo que pasa con las rotaciones, que no dejan ninguna dirección fija.

Dos atajos que ayudan a verificar: la suma de los autovalores es la traza de la matriz, y su producto es el determinante. Son chequeos rápidos y detectan la mayoría de los errores de cuenta.

Para matrices triangulares o diagonales, los autovalores son directamente los elementos de la diagonal.

\det(A - \lambda I) = 0

Cuándo se usa

Cuando hay que hallar autovalores. Armá el determinante con la incógnita restada en la diagonal y buscá sus raíces. Verificá con la traza y el determinante antes de seguir.

Ejemplo 1

Hallar los autovalores de $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ .

Armamos $A - \lambda I$ . Restando $\lambda$ en la diagonal queda $2 - \lambda 1$
$1 2 - \lambda$ .
Calculamos el determinante. $(2 - \lambda )^{2} - 1 \cdot 1 = \lambda ^{2} - 4\lambda + 3$ .
Resolvemos la ecuación. $\lambda ^{2} - 4\lambda + 3 = 0$ da $\lambda = 1$ y $\lambda = 3$ . Control: suman $4$ , que es la traza.
Respuesta: $\lambda = 1$ y $\lambda = 3$

Ejemplo 2

Hallar los autovectores de $\lambda = 3$ en esa matriz.

Reemplazamos $\lambda$ en $A - \lambda I$ . Queda $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ .
Planteamos el sistema homogéneo. $-x + y = 0$ , es decir $y = x$ . La segunda ecuación dice lo mismo.
Escribimos la solución. Los autovectores son los $(t, t)$ con $t \neq 0$ . El más cómodo es $(1, 1)$ .
Respuesta: $gen{(1, 1)}$ , sin el nulo

Error típico

Restar $\lambda a$ todos los elementos de la matriz. La resta es contra $\lambda$ veces la identidad, que tiene ceros fuera de la diagonal, así que solo cambian los elementos diagonales.

Practicar

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