Método

Ejercicios: Polinomio característico

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá el polinomio característico de A=[−4905]A = \begin{bmatrix}-4 & 9 \\ 0 & 5\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Escribimos la definición. El polinomio característico es det⁡(A−λI)\det(A - \lambda I).

2. Restamos la incógnita en la diagonal. A−λI=[−4−λ905−λ]A - \lambda I = \begin{bmatrix}-4 - \lambda & 9 \\ 0 & 5 - \lambda\end{bmatrix}

3. Calculamos el determinante. (−4−λ)(5−λ)−(9)(0)(-4 - \lambda)(5 - \lambda) - (9)(0)

4. Desarrollamos. p(λ)=λ2−λ−20p(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 20

5. Observamos. Para dos por dos el polinomio siempre queda λ2−tr⁡(A)λ+det⁡(A)\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A). Es un atajo útil para verificar.

Respuesta: p(λ)=λ2−λ−20p(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 20

2. Hallá los autovalores de A=[−410−3]A = \begin{bmatrix}-4 & 1 \\ 0 & -3\end{bmatrix} a partir de su polinomio característico.

Ver solución

1. Escribimos el polinomio. p(λ)=λ2+7λ+12p(\lambda) = \lambda^2 + 7\lambda + 12

2. Igualamos a cero. Los autovalores son exactamente las raíces del polinomio característico.

3. Factorizamos. p(λ)=(λ−(−3))(λ−(−4))p(\lambda) = (\lambda - (-3))(\lambda - (-4))

4. Leemos las raíces. λ1=−3\lambda_1 = -3 y λ2=−4\lambda_2 = -4

5. Verificamos. La suma da la traza −7-7 y el producto el determinante 1212.

Respuesta: los autovalores son −3-3 y −4-4

3. Hallá el polinomio característico de la matriz triangular superior A=[250−3]A = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ 0 & -3\end{bmatrix} y sus autovalores.

Ver solución

1. Restamos la incógnita. A−λIA - \lambda I tiene 2−λ2 - \lambda y −3−λ-3 - \lambda en la diagonal, y mantiene los ceros.

2. Aprovechamos la forma triangular. El determinante de una triangular es el producto de su diagonal.

3. Escribimos el polinomio. p(λ)=(2−λ)(−3−λ)p(\lambda) = (2 - \lambda)(-3 - \lambda)

4. Leemos las raíces. λ1=2\lambda_1 = 2 y λ2=−3\lambda_2 = -3.

5. Generalizamos. En una matriz triangular los autovalores son directamente los elementos de la diagonal. No hace falta calcular nada.

Respuesta: p(λ)=(2−λ)(−3−λ)p(\lambda) = (2 - \lambda)(-3 - \lambda), con autovalores 22 y −3-3

4. Hallá los autovalores de A=[0−110]A = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} y explicá el resultado.

Ver solución

1. Armamos el polinomio característico. p(λ)=λ2+1p(\lambda) = \lambda^2 + 1

2. Buscamos las raíces reales. λ2=−1\lambda^2 = -1 no tiene solución entre los números reales.

3. Concluimos sobre los reales. La matriz no tiene autovalores reales, así que no tiene autovectores reales.

4. Interpretamos geométricamente. Es la matriz de una rotación de 90∘90^\circ. Ninguna dirección queda invariante al rotar, así que tiene sentido que no haya autovectores.

5. Ampliamos a los complejos. Sobre los complejos sí tiene autovalores: ii y −i-i.

Respuesta: no tiene autovalores reales: es una rotación y ninguna dirección queda fija

5. Hallá el polinomio característico de A=[5−36−4]A = \begin{bmatrix}5 & -3 \\ 6 & -4\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Escribimos la definición. El polinomio característico es det⁡(A−λI)\det(A - \lambda I).

2. Restamos la incógnita en la diagonal. A−λI=[5−λ−36−4−λ]A - \lambda I = \begin{bmatrix}5 - \lambda & -3 \\ 6 & -4 - \lambda\end{bmatrix}

3. Calculamos el determinante. (5−λ)(−4−λ)−(−3)(6)(5 - \lambda)(-4 - \lambda) - (-3)(6)

4. Desarrollamos. p(λ)=λ2−λ−2p(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 2

5. Observamos. Para dos por dos el polinomio siempre queda λ2−tr⁡(A)λ+det⁡(A)\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A). Es un atajo útil para verificar.

Respuesta: p(λ)=λ2−λ−2p(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 2

6. Hallá los autovalores de A=[−106−128]A = \begin{bmatrix}-10 & 6 \\ -12 & 8\end{bmatrix} a partir de su polinomio característico.

Ver solución

1. Escribimos el polinomio. p(λ)=λ2+2λ−8p(\lambda) = \lambda^2 + 2\lambda - 8

2. Igualamos a cero. Los autovalores son exactamente las raíces del polinomio característico.

3. Factorizamos. p(λ)=(λ−(−4))(λ−2)p(\lambda) = (\lambda - (-4))(\lambda - 2)

4. Leemos las raíces. λ1=−4\lambda_1 = -4 y λ2=2\lambda_2 = 2

5. Verificamos. La suma da la traza −2-2 y el producto el determinante −8-8.

Respuesta: los autovalores son −4-4 y 22

7. Hallá el polinomio característico de la matriz triangular inferior A=[407−1]A = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 7 & -1\end{bmatrix} y sus autovalores.

Ver solución

1. Restamos la incógnita. A−λIA - \lambda I tiene 4−λ4 - \lambda y −1−λ-1 - \lambda en la diagonal, y mantiene los ceros.

2. Aprovechamos la forma triangular. El determinante de una triangular es el producto de su diagonal.

3. Escribimos el polinomio. p(λ)=(4−λ)(−1−λ)p(\lambda) = (4 - \lambda)(-1 - \lambda)

4. Leemos las raíces. λ1=4\lambda_1 = 4 y λ2=−1\lambda_2 = -1.

5. Observamos. Vale igual para triangulares inferiores: lo que importa es que haya un bloque de ceros de un lado de la diagonal.

Respuesta: p(λ)=(4−λ)(−1−λ)p(\lambda) = (4 - \lambda)(-1 - \lambda), con autovalores 44 y −1-1

8. Hallá los autovalores de A=[100−1]A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} e interpretá el resultado geométricamente.

Ver solución

1. Aprovechamos la forma diagonal. Los autovalores de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal: λ1=1\lambda_1 = 1 y λ2=−1\lambda_2 = -1.

2. Hallamos el autoespacio de λ=1\lambda = 1. (A−I)v=0(A - I)v = 0 da −2y=0-2y = 0, o sea y=0y = 0: el eje xx.

3. Hallamos el autoespacio de λ=−1\lambda = -1. (A+I)v=0(A + I)v = 0 da 2x=02x = 0, o sea x=0x = 0: el eje yy.

4. Interpretamos geométricamente. Es la simetría respecto del eje xx: lo que está sobre el eje queda fijo, y lo que está sobre el eje yy se da vuelta.

5. Leemos los autovalores. El 11 corresponde a la dirección que no se mueve, y el −1-1 a la que se invierte.

6. Comparamos con la rotación. La rotación no tiene autovectores reales; la reflexión tiene dos direcciones privilegiadas. La diferencia se ve directamente en los autovalores.

Respuesta: los autovalores son 11 y −1-1: es una simetría, con el eje xx fijo y el eje yy invertido

9. Hallá el polinomio característico de A=[2204]A = \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 0 & 4\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Escribimos la definición. El polinomio característico es det⁡(A−λI)\det(A - \lambda I).

2. Restamos la incógnita en la diagonal. A−λI=[2−λ204−λ]A - \lambda I = \begin{bmatrix}2 - \lambda & 2 \\ 0 & 4 - \lambda\end{bmatrix}

3. Calculamos el determinante. (2−λ)(4−λ)−(2)(0)(2 - \lambda)(4 - \lambda) - (2)(0)

4. Desarrollamos. p(λ)=λ2−6λ+8p(\lambda) = \lambda^2 - 6\lambda + 8

5. Observamos. Para dos por dos el polinomio siempre queda λ2−tr⁡(A)λ+det⁡(A)\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A). Es un atajo útil para verificar.

Respuesta: p(λ)=λ2−6λ+8p(\lambda) = \lambda^2 - 6\lambda + 8

10. Hallá los autovalores de A=[−51−2−2]A = \begin{bmatrix}-5 & 1 \\ -2 & -2\end{bmatrix} a partir de su polinomio característico.

Ver solución

1. Escribimos el polinomio. p(λ)=λ2+7λ+12p(\lambda) = \lambda^2 + 7\lambda + 12

2. Igualamos a cero. Los autovalores son exactamente las raíces del polinomio característico.

3. Factorizamos. p(λ)=(λ−(−4))(λ−(−3))p(\lambda) = (\lambda - (-4))(\lambda - (-3))

4. Leemos las raíces. λ1=−4\lambda_1 = -4 y λ2=−3\lambda_2 = -3

5. Verificamos. La suma da la traza −7-7 y el producto el determinante 1212.

Respuesta: los autovalores son −4-4 y −3-3

11. Hallá el polinomio característico de la matriz triangular superior A=[−2306]A = \begin{bmatrix}-2 & 3 \\ 0 & 6\end{bmatrix} y sus autovalores.

Ver solución

1. Restamos la incógnita. A−λIA - \lambda I tiene −2−λ-2 - \lambda y 6−λ6 - \lambda en la diagonal, y mantiene los ceros.

2. Aprovechamos la forma triangular. El determinante de una triangular es el producto de su diagonal.

3. Escribimos el polinomio. p(λ)=(−2−λ)(6−λ)p(\lambda) = (-2 - \lambda)(6 - \lambda)

4. Leemos las raíces. λ1=−2\lambda_1 = -2 y λ2=6\lambda_2 = 6.

5. Verificamos con la traza. La suma de los autovalores es −2+6=4-2 + 6 = 4, que es la traza de la matriz: coherente.

Respuesta: p(λ)=(−2−λ)(6−λ)p(\lambda) = (-2 - \lambda)(6 - \lambda), con autovalores −2-2 y 66

12. Hallá los autovalores de A=[0000]A = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} y de A=[1001]A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, y comparalos.

Ver solución

1. Empezamos por la matriz nula. Su polinomio característico es λ2\lambda^2, así que el único autovalor es λ=0\lambda = 0, con multiplicidad algebraica 22.

2. Hallamos su autoespacio. (A−0I)v=0(A - 0I)v = 0 es la matriz nula, así que todo vector la satisface: el autoespacio es todo R2\mathbb{R}^2.

3. Seguimos con la identidad. Su polinomio es (1−λ)2(1 - \lambda)^2, con el único autovalor λ=1\lambda = 1, también de multiplicidad 22.

4. Hallamos su autoespacio. (I−I)v=0(I - I)v = 0 también es la matriz nula: el autoespacio es todo R2\mathbb{R}^2.

5. Comparamos. Las dos tienen un solo autovalor repetido y autoespacio de dimensión 22. Solo cambia el valor: 00 contra 11.

6. Interpretamos. La nula aplasta todo contra el origen; la identidad no mueve nada. Las dos tratan a todas las direcciones por igual, y por eso las dos son diagonalizables aunque tengan el autovalor repetido.

Respuesta: la nula tiene autovalor 00 y la identidad autovalor 11, las dos con autoespacio de dimensión 22

Integradores de Transformaciones lineales y diagonalización: practicá este tema junto con el resto de la unidad

← Autovalores y autovectoresAutoespacios y multiplicidades →

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .