Ejercicios: Autovalores y autovectores

2. Armamos la matriz. $A - \lambda I = \begin{bmatrix}5 - \lambda & -4 \\ 8 & -7 - \lambda\end{bmatrix}$

3. Calculamos el determinante. $(5 - \lambda)(-7 - \lambda) - (-4)(8) = \lambda^2 + 2\lambda - 3$

4. Igualamos a cero y resolvemos. Las raíces son $\lambda_1 = 1$ y $\lambda_2 = -3$.

5. Verificamos. Suman $-2$, que es la traza, y multiplican $-3$, que es el determinante.

Respuesta: los autovalores son $1$ y $-3$

2. Aplicamos la matriz al vector. $\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ 6\end{bmatrix}$

3. Comparamos con el original. El resultado es $3$ veces el vector de partida.

4. Concluimos. $v$ es autovector con autovalor $\lambda = 3$.

5. Observamos. Esta matriz multiplica todo por $3$, así que cualquier vector no nulo es autovector. Es un caso particular.

Respuesta: es autovector con autovalor $\lambda = 3$

2. Armamos la matriz. $A - 3I = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$

3. Escribimos el sistema. La primera ecuación dice $y = 0$ y la segunda $-y = 0$: las dos dicen lo mismo.

4. Resolvemos. $y = 0$ con $x$ libre, así que los autovectores son de la forma $x(1; 0)$.

5. Concluimos. El autoespacio es la recta generada por $(1; 0)$, sin contar el vector nulo.

Respuesta: los autovectores son los múltiplos no nulos de $(1; 0)$

2. Probamos con el nulo. $A \cdot 0 = 0 = \lambda \cdot 0$ se cumple para cualquier valor de $\lambda$.

3. Vemos el problema. Si se lo aceptara como autovector, todo número sería autovalor de toda matriz.

4. Concluimos. Por eso la definición exige que el autovector sea no nulo: es lo que hace que los autovalores estén bien determinados.

5. Aclaramos una distinción. El vector nulo sí forma parte del autoespacio, porque el autoespacio es un subespacio. Pero no se lo llama autovector.

Respuesta: porque si lo fuera, cualquier número sería autovalor de cualquier matriz

2. Armamos la matriz. $A - \lambda I = \begin{bmatrix}-4 - \lambda & 9 \\ 0 & 5 - \lambda\end{bmatrix}$

3. Calculamos el determinante. $(-4 - \lambda)(5 - \lambda) - (9)(0) = \lambda^2 - \lambda - 20$

4. Igualamos a cero y resolvemos. Las raíces son $\lambda_1 = 5$ y $\lambda_2 = -4$.

5. Verificamos. Suman $1$, que es la traza, y multiplican $-20$, que es el determinante.

Respuesta: los autovalores son $5$ y $-4$

2. Aplicamos la matriz al vector. $\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 2\end{bmatrix}$

3. Comparamos con el original. El resultado es $2$ veces el vector de partida.

4. Concluimos. $v$ es autovector con autovalor $\lambda = 2$.

5. Observamos. Esta matriz multiplica todo por $2$, así que cualquier vector no nulo es autovector. Es un caso particular.

Respuesta: es autovector con autovalor $\lambda = 2$

2. Armamos la matriz. $A - 2I = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$

3. Escribimos el sistema. La única ecuación no trivial es $x + y = 0$.

4. Resolvemos. $y = -x$, con $x$ libre: los autovectores son de la forma $x(1; -1)$.

5. Concluimos. El autoespacio es la recta generada por $(1; -1)$, sin contar el vector nulo.

6. Verificamos. $A(1; -1) = (3 - 1; -2) = (2; -2) = 2(1; -1)$: efectivamente es autovector de autovalor $2$.

Respuesta: los autovectores son los múltiplos no nulos de $(1; -1)$

2. Tomamos un múltiplo. Sea $w = kv$ con $k \neq 0$, así que $w$ tampoco es nulo.

3. Aplicamos la matriz. $Aw = A(kv) = k(Av)$, porque multiplicar por una matriz es lineal.

4. Usamos la hipótesis. $k(Av) = k(\lambda v) = \lambda(kv) = \lambda w$.

5. Concluimos. $Aw = \lambda w$, así que $w$ es autovector con el mismo autovalor.

6. Sacamos la consecuencia. Los autovectores nunca vienen solos: siempre son toda una recta menos el origen. Por eso se habla del autoespacio y no de un autovector puntual, y por eso cualquier respuesta que difiera en un factor es igual de válida.

Respuesta: todo múltiplo no nulo también es autovector del mismo autovalor, porque el escalar sale afuera

2. Armamos la matriz. $A - \lambda I = \begin{bmatrix}-1 - \lambda & 3 \\ -6 & 8 - \lambda\end{bmatrix}$

3. Calculamos el determinante. $(-1 - \lambda)(8 - \lambda) - (3)(-6) = \lambda^2 - 7\lambda + 10$

4. Igualamos a cero y resolvemos. Las raíces son $\lambda_1 = 2$ y $\lambda_2 = 5$.

5. Verificamos. Suman $7$, que es la traza, y multiplican $10$, que es el determinante.

Respuesta: los autovalores son $2$ y $5$

2. Aplicamos la matriz al vector. $\begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 0 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 \\ -2\end{bmatrix}$

3. Comparamos con el original. El resultado es $-2$ veces el vector de partida.

4. Concluimos. $v$ es autovector con autovalor $\lambda = -2$.

5. Observamos. Esta matriz multiplica todo por $-2$, así que cualquier vector no nulo es autovector. Es un caso particular.

Respuesta: es autovector con autovalor $\lambda = -2$

2. Armamos la matriz. $A - 5I = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$: la matriz nula.

3. Resolvemos el sistema. La ecuación $0$ se cumple para cualquier vector: no hay ninguna restricción.

4. Describimos el autoespacio. Todo $\mathbb{R}^2$ es el autoespacio, de dimensión $2$.

5. Concluimos. Todos los vectores no nulos del plano son autovectores de autovalor $5$.

6. Interpretamos. $A$ es $5$ veces la identidad: estira todo por igual, así que ninguna dirección es privilegiada. Es el caso opuesto al de una matriz con autovalores distintos, donde solo dos direcciones son autovectores.

Respuesta: todos los vectores no nulos de $\mathbb{R}^2$ son autovectores

2. Igualamos. $\lambda v = \mu v$.

3. Pasamos todo a un lado. $(\lambda - \mu)v = 0$.

4. Usamos que $v$ no es nulo. Un producto de un escalar por un vector no nulo da cero solo si el escalar es cero, así que $\lambda - \mu = 0$.

5. Sacamos la contradicción. Eso dice $\lambda = \mu$, contra lo supuesto.

6. Concluimos. Cada autovector tiene un único autovalor. Al revés no vale: un mismo autovalor puede tener muchos autovectores independientes, y esa cantidad es la multiplicidad geométrica.

Respuesta: no puede: de $\lambda v = \mu v$ con $v \neq 0$ sale $\lambda = \mu$