Ejercicios: Autoespacios y multiplicidades

2. Armamos la matriz. $A - 2I = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$

3. Resolvemos. La única ecuación no trivial es $3y = 0$, o sea $y = 0$, con $x$ libre.

4. Escribimos el autoespacio. Es el conjunto de los múltiplos de $(1; 0)$, o sea el eje $x$.

5. Damos la dimensión. La dimensión es $1$. Esa dimensión se llama multiplicidad geométrica del autovalor.

Respuesta: el autoespacio es la recta generada por $(1; 0)$, de dimensión $1$

2. Leemos la multiplicidad algebraica. El factor aparece elevado al cuadrado, así que la multiplicidad algebraica es $2$.

3. Calculamos el autoespacio. $A - 3I = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$, la matriz nula. Todo vector la satisface.

4. Leemos la multiplicidad geométrica. El autoespacio es todo $\mathbb{R}^2$, de dimensión $2$.

5. Comparamos. Las dos multiplicidades valen $2$: coinciden. Eso es lo que permite diagonalizar.

Respuesta: las dos multiplicidades valen $2$

2. Calculamos el autoespacio. $A - 3I = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$, y la ecuación es $y = 0$.

3. Describimos las soluciones. Los autovectores son los múltiplos de $(1; 0)$, así que el autoespacio tiene dimensión $1$.

4. Comparamos. La algebraica vale $2$ y la geométrica $1$: no coinciden.

5. Concluimos. Cuando la geométrica es menor que la algebraica, la matriz no es diagonalizable. Faltan autovectores para armar una base.

Respuesta: la algebraica es $2$ y la geométrica es $1$, así que la matriz no es diagonalizable

2. Damos la intuición. Cada dimensión del autoespacio aporta un factor al polinomio característico, porque son direcciones donde la transformación actúa como un simple estiramiento.

3. Sacamos la desigualdad. El polinomio no puede tener menos factores de los que impone el autoespacio, así que la geométrica es siempre menor o igual que la algebraica.

4. Vemos qué significa cada caso. Si son iguales para todos los autovalores, hay suficientes autovectores independientes y la matriz es diagonalizable.

5. Damos el criterio práctico. Si para algún autovalor la geométrica es estrictamente menor, la matriz no se puede diagonalizar.

Respuesta: la geométrica nunca supera a la algebraica, y la igualdad en todos los autovalores es lo que permite diagonalizar

2. Armamos la matriz. $A - 5I = \begin{bmatrix}-3 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$

3. Resolvemos. La única ecuación no trivial es $-3x = 0$, o sea $x = 0$, con $y$ libre.

4. Escribimos el autoespacio. Es el conjunto de los múltiplos de $(0; 1)$, o sea el eje $y$.

5. Damos la dimensión. La dimensión es $1$.

6. Comparamos con el otro autovalor. El autoespacio de $\lambda = 2$ era el eje $x$. Los dos autoespacios se cortan solo en el origen, y juntos generan todo el plano: por eso la matriz es diagonalizable.

Respuesta: el autoespacio es la recta generada por $(0; 1)$, de dimensión $1$

2. Leemos la multiplicidad algebraica. El factor $(4 - \lambda)$ aparece una sola vez, así que la algebraica es $1$.

3. Calculamos el autoespacio. $A - 4I = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$, cuya ecuación no trivial es $3y = 0$.

4. Leemos la multiplicidad geométrica. El autoespacio es la recta generada por $(1; 0)$, de dimensión $1$.

5. Comparamos. Las dos valen $1$: coinciden.

6. Damos la regla. Cuando la algebraica vale $1$, la geométrica vale $1$ a la fuerza: es al menos $1$ porque hay algún autovector, y nunca supera a la algebraica. Por eso los autovalores simples nunca dan problemas.

Respuesta: las dos multiplicidades valen $1$

2. Calculamos el autoespacio. $A + 2I = \begin{bmatrix}0 & 4 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$, cuya única ecuación es $4y = 0$.

3. Resolvemos. $y = 0$ con $x$ libre: los autovectores son los múltiplos de $(1; 0)$.

4. Leemos la geométrica. El autoespacio tiene dimensión $1$.

5. Comparamos. Algebraica $2$, geométrica $1$: no coinciden, así que no es diagonalizable.

6. Observamos. Que el autovalor sea negativo no cambia el análisis. Lo que importa es el bloque de arriba a la derecha: mientras no sea cero, el autoespacio queda chico.

Respuesta: la algebraica es $2$ y la geométrica es $1$, así que la matriz no es diagonalizable

2. Traducimos el determinante nulo. Que el determinante sea cero significa que la matriz $A - \lambda I$ no es inversible.

3. Miramos su núcleo. Una matriz cuadrada no inversible tiene núcleo no trivial: existe algún $v \neq 0$ con $(A - \lambda I)v = 0$.

4. Identificamos ese núcleo. Ese núcleo es exactamente el autoespacio de $\lambda$.

5. Concluimos. El autoespacio contiene al menos un vector no nulo, así que su dimensión es al menos $1$.

6. Sacamos la consecuencia. Todo autovalor tiene autovectores: no puede haber un autovalor sin ninguno. Junto con la cota superior, queda $1 \leq$ geométrica $\leq$ algebraica.

Respuesta: es al menos $1$ porque $\det(A - \lambda I) = 0$ garantiza que el núcleo de $A - \lambda I$ no sea trivial

2. Armamos la matriz. $A - I = \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$

3. Resolvemos. La única ecuación no trivial es $2y = 0$, o sea $y = 0$, con $x$ libre.

4. Escribimos el autoespacio. Es la recta generada por $(1; 0)$.

5. Damos la dimensión. La dimensión es $1$: la multiplicidad geométrica de $\lambda = 1$ vale $1$.

6. Comparamos con la algebraica. El polinomio característico es $(1 - \lambda)^2$, así que la multiplicidad algebraica es $2$. Como la geométrica es menor, esta matriz no es diagonalizable.

Respuesta: el autoespacio es la recta generada por $(1; 0)$, de dimensión $1$

2. Leemos la multiplicidad algebraica. $\lambda = 0$ es raíz doble, así que la algebraica es $2$.

3. Calculamos el autoespacio. $(A - 0I)v = 0$ es directamente $Av = 0$, y como $A$ es la matriz nula, todo vector la cumple.

4. Leemos la multiplicidad geométrica. El autoespacio es todo $\mathbb{R}^2$, de dimensión $2$.

5. Comparamos. Las dos valen $2$: coinciden, así que la matriz es diagonalizable.

6. Observamos. Ya es diagonal, así que era diagonalizable de entrada. Que el único autovalor sea cero no cambia nada: cero es un autovalor legítimo, lo que no puede ser nulo es el autovector.

Respuesta: las dos multiplicidades valen $2$

2. Planteamos el autoespacio. $A - I = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$.

3. Escribimos el sistema. La única ecuación no trivial es $z = 0$. Las variables $x$ e $y$ quedan libres.

4. Describimos las soluciones. $(x; y; 0) = x(1; 0; 0) + y(0; 1; 0)$: el autoespacio tiene dimensión $2$.

5. Comparamos. Algebraica $3$, geométrica $2$.

6. Concluimos. La geométrica es menor, así que no es diagonalizable. Falta un autovector para completar una base de $\mathbb{R}^3$: hay dos y hacen falta tres.

Respuesta: la algebraica es $3$ y la geométrica es $2$, así que la matriz no es diagonalizable

2. Aplicamos la matriz. $A(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 \lambda_1 v_1 + \alpha_2 \lambda_2 v_2 = 0$.

3. Armamos una segunda ecuación. Multiplicamos la combinación original por $\lambda_2$: $\alpha_1 \lambda_2 v_1 + \alpha_2 \lambda_2 v_2 = 0$.

4. Restamos las dos. Los términos con $v_2$ se cancelan y queda $\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_2)v_1 = 0$.

5. Despejamos. Como $v_1 \neq 0$ y $\lambda_1 \neq \lambda_2$, tiene que ser $\alpha_1 = 0$. Reemplazando en la combinación original y usando $v_2 \neq 0$, también $\alpha_2 = 0$.

6. Concluimos. La única combinación nula es la trivial: son independientes. De ahí sale que una matriz de orden $n$ con $n$ autovalores distintos es siempre diagonalizable, sin necesidad de calcular autoespacios.

Respuesta: son independientes, y por eso $n$ autovalores distintos garantizan que la matriz sea diagonalizable