Matrices simétricas

Una matriz es simétrica cuando coincide con su transpuesta, o sea que es un espejo respecto de la diagonal principal.

Las simétricas con entradas reales tienen propiedades excepcionales, y todas juntas forman el teorema espectral.

La primera es que todos sus autovalores son reales. No hay riesgo de que aparezcan complejos, cosa que sí puede pasar con matrices cualesquiera.

La segunda es que autovectores de autovalores distintos son ortogonales entre sí, no solo independientes. Eso es mucho más fuerte.

La tercera es que siempre son diagonalizables, sin importar si hay autovalores repetidos. No hace falta verificar multiplicidades.

Y hay una cuarta consecuencia práctica: se puede elegir una base ortonormal de autovectores, y entonces la matriz de cambio tiene su inversa igual a su transpuesta, lo que ahorra todo el cálculo de la inversa.

Estas matrices aparecen en formas cuadráticas, en estadística y en física, y por eso el teorema espectral es uno de los resultados más usados de la matemática aplicada.

A = A^{T} \ \Rightarrow \ A \text{ siempre diagonalizable}

Cuándo se usa

Cuando la matriz es igual a su transpuesta. Ya sabés que diagonaliza y que sus autovalores son reales, sin verificar nada. Aprovechá que los autovectores salen ortogonales.

Ejemplo 1

Verificar que los autovectores de $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ son perpendiculares.

Recuperamos los autovectores. $(1, 1)$ para $\lambda = 3$ y $(1, -1)$ para $\lambda = 1$ .
Calculamos el producto interno. $1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0$ .
Concluimos. Son perpendiculares, como tenía que pasar por ser la matriz simétrica.
Respuesta: sí, el producto interno da $0$

Ejemplo 2

Armar una base ortonormal de autovectores para esa matriz.

Partimos de los autovectores. $(1, 1)$ y $(1, -1)$ , que ya son ortogonales.
Calculamos sus normas. Las dos valen $\sqrt{2}$ .
Dividimos cada uno por su norma. Queda $(1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ y $(1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ . Con esa $P$ , la inversa es su transpuesta.
Respuesta: la base normalizada

Error típico

Suponer que toda matriz diagonalizable tiene autovectores ortogonales. Eso lo garantiza la simetría, no la diagonalización: hay matrices diagonalizables cuyos autovectores forman cualquier ángulo.

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

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